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Unidades de AP Calculus

AP Calculus unidad 8: repaso de aplicaciones de la integral (AB y BC)

Repaso de la unidad 8 de AP Calculus AB y BC: valor medio, movimiento, área entre curvas, secciones transversales, discos y arandelas, y longitud de arco en BC.

Unidades de AP Calculus Actualizado 4 min de lectura

De un vistazo

Peso en el examen AB
10–15%
Peso en el examen BC
5–10%
Ideas clave
Valor medio, cambio neto, área entre curvas, volúmenes
Solo BC
Longitud de arco de una curva plana suave
Va antes de
La unidad 9, paramétricas y polares (BC), o el repaso del examen AB
Practica aquí
Cálculo 1: aplicaciones de la integral
En esta página
  1. Qué cubre la unidad 8
  2. Las ideas clave
  3. Preguntas de ejemplo
  4. Cómo estudiar la unidad 8

La unidad 8 de AP Calculus, aplicaciones de la integral (Applications of Integration), es donde las integrales miden cosas. La integral de una velocidad es un desplazamiento. La integral de una diferencia de alturas es un área. La integral del área de una sección transversal es un volumen. La idea detrás de todos los temas es la misma: corta la cantidad en trozos finos, escribe un trozo y súmalos con una integral.

AP Calculus AB AP Calculus BC
Peso en el examen 10–15% 5–10%
Temas adicionales ninguno longitud de arco

Qué cubre la unidad 8

College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.

Tema Qué aprendes Práctica
Valor medio \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx Valor medio
Movimiento con integrales Posición, desplazamiento y distancia total a partir de la velocidad Cambio neto
Acumulación en contexto La cantidad en el instante t a partir de una cantidad inicial más una tasa Cambio neto
Área entre curvas Integrar respecto de x o de y, y con varias intersecciones Área entre curvas
Secciones transversales Cuadrados, rectángulos, triángulos y semicírculos Volúmenes por secciones transversales
Método de discos Girar alrededor de los ejes y de otras rectas Volúmenes por discos
Método de arandelas Girar una región con un hueco Volúmenes por arandelas
Longitud de arco (BC) \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx Longitud de arco

Las ideas clave

El cambio neto es la integral de una tasa. Si x(t) es la posición y v(t) la velocidad, entonces x(b) = x(a) + \int_a^b v(t)\,dt. La distancia total usa |v(t)|, así que divide la integral donde v cambie de signo.

El área entre curvas es la de arriba menos la de abajo. Halla dónde se cortan las curvas, decide cuál está arriba e integra la diferencia. Si las curvas son más fáciles de escribir como x = g(y), integra la de la derecha menos la de la izquierda respecto de y.

La región entre y = x e y = x²
Las curvas se cortan en x = 0 y x = 1. El área es \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{6}.

El volumen es la integral del área de una sección transversal. Con secciones transversales conocidas, escribe el área de un corte A(x) y calcula \int_a^b A(x)\,dx. Para un disco, A(x) = \pi R^2. Para una arandela, A(x) = \pi\left(R^2 - r^2\right), donde R y r son distancias al eje de giro. Las guías de área entre curvas y de volúmenes de revolución profundizan más.

Preguntas de ejemplo

1. Valor medio. El valor medio de f(x) = x^2 en [0, 3] es \frac{1}{3}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3.

2. Desplazamiento y distancia. Para v(t) = t^2 - 4 en [0, 3], el desplazamiento es \int_0^3 (t^2 - 4)\,dt = 9 - 12 = -3. La velocidad cambia de signo en t = 2, así que la distancia total es

\int_0^2 (4 - t^2)\,dt + \int_2^3 (t^2 - 4)\,dt = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}

3. Área entre curvas. En [0, 1], y = x está por encima de y = x^2, así que el área es \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

4. Método de arandelas. Gira la misma región alrededor del eje x. El radio exterior es x y el interior x^2:

V = \pi\int_0^1 \left(x^2 - x^4\right)dx = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}

5. Secciones transversales cuadradas. Si la misma región es la base de un sólido cuyas secciones perpendiculares al eje x son cuadrados, cada lado mide x - x^2:

V = \int_0^1 (x - x^2)^2\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1}{30}

6. BC: longitud de arco. Para y = \frac{2}{3}x^{3/2} en [0, 3], y' = \sqrt{x}, así que

L = \int_0^3 \sqrt{1 + x}\,dx = \left[\frac{2}{3}(1 + x)^{3/2}\right]_0^3 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}

Cómo estudiar la unidad 8

  • Dibuja primero la región. Un dibujo rápido muestra qué curva está arriba y desde dónde se miden los radios.
  • Mide los radios desde el eje de giro. Al girar alrededor de y = -1, el radio es f(x) + 1, no f(x).
  • Plantea y después calcula. Las preguntas de respuesta libre suelen decir "escribe, pero no calcules, una expresión con una integral". Practica planteamientos limpios con los límites correctos y el \pi.
  • Distingue el desplazamiento de la distancia. Cada vez que veas "distancia total", comprueba dónde es negativa la velocidad.
  • Resuelve colecciones de ejercicios. Prueba los ejercicios de área entre curvas y los ejercicios de volúmenes de revolución, todos con soluciones completas.

Para ver el mapa completo del curso, consulta la guía de AP Calculus AB o la guía de AP Calculus BC.

AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.

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Área entre curvas

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Preguntas frecuentes

¿De qué trata la unidad 8 de AP Calculus?
La unidad 8 usa integrales definidas para hallar cantidades reales: el valor medio de una función, la posición y la distancia a partir de la velocidad, cantidades acumuladas en contexto, el área entre curvas y volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas o generados al girar una región.

¿Cuánto pesa la unidad 8 en el examen AP?
La unidad 8 supone entre el 10 y el 15 por ciento de la nota de opción múltiple en AP Calculus AB y entre el 5 y el 10 por ciento en AP Calculus BC. En casi todos los exámenes aparece una pregunta de respuesta libre sobre áreas y volúmenes.

¿Qué diferencia hay entre la unidad 8 de AB y la de BC?
Los temas son los mismos salvo uno: BC añade la longitud de arco de una curva suave, L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^2}\,dx.

¿Entra el método de capas en el examen AP Calculus?
El marco del curso de AP usa los métodos de discos y arandelas y las secciones transversales conocidas, así que esos son los métodos que hay que dominar. El método de capas no forma parte del marco.

Escrito por el equipo de PracticeCalculus

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