AP Calc Einheit 8: Anwendungen der Integration (AB und BC)

AP Calculus Einheit 8, Anwendungen der Integration (Applications of Integration), ist der Teil, in dem Integrale Dinge messen. Das Integral einer Geschwindigkeit ist eine Verschiebung. Das Integral einer Höhendifferenz ist eine Fläche. Das Integral einer Querschnittsfläche ist ein Volumen. Hinter jedem Thema steckt dieselbe Idee: Zerlege die Größe in dünne Stücke, schreibe ein Stück auf und addiere alle mit einem Integral.

Was Einheit 8 umfasst

Das College Board teilt die Einheit in diese Themen. Jede Zeile verlinkt eine Lektion, in der du das Thema jedes Mal mit neuen Zahlen üben kannst.

Die wichtigsten Ideen

Die Gesamtänderung ist das Integral einer Rate. Ist x(t) der Ort und v(t) die Geschwindigkeit, dann gilt x(b) = x(a) + \int_a^b v(t)\,dt. Für die Gesamtstrecke verwendest du |v(t)|, teile das Integral also überall dort, wo v das Vorzeichen wechselt.

Fläche zwischen Kurven heißt oben minus unten. Bestimme die Schnittpunkte der Kurven, entscheide, welche oben liegt, und integriere die Differenz. Lassen sich die Kurven leichter als x = g(y) schreiben, integrierst du rechts minus links nach y.

Das Volumen ist das Integral einer Querschnittsfläche. Bei bekannten Querschnitten schreibst du die Fläche eines Schnitts A(x) auf und berechnest \int_a^b A(x)\,dx. Für eine Scheibe ist A(x) = \pi R^2, für einen Ring A(x) = \pi\left(R^2 - r^2\right), wobei R und r Abstände zur Rotationsachse sind. Die Leitfäden zur Fläche zwischen Kurven und zu Rotationskörpern gehen weiter.

Beispielaufgaben

1. Mittelwert. Der Mittelwert von f(x) = x^2 auf [0, 3] ist \frac{1}{3}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3.

2. Verschiebung und Strecke. Für v(t) = t^2 - 4 auf [0, 3] ist die Verschiebung \int_0^3 (t^2 - 4)\,dt = 9 - 12 = -3. Die Geschwindigkeit wechselt bei t = 2 das Vorzeichen, die Gesamtstrecke ist also

3. Fläche zwischen Kurven. Auf [0, 1] liegt y = x über y = x^2, die Fläche ist also \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

4. Ringmethode. Lass dasselbe Gebiet um die x-Achse rotieren. Der äußere Radius ist x, der innere x^2:

5. Quadratische Querschnitte. Ist dasselbe Gebiet die Grundfläche eines Körpers, dessen Querschnitte senkrecht zur x-Achse Quadrate sind, dann hat jedes die Seitenlänge x - x^2:

6. BC: Bogenlänge. Für y = \frac{2}{3}x^{3/2} auf [0, 3] ist y' = \sqrt{x}, also

So lernst du für Einheit 8

• Zuerst das Gebiet skizzieren. Eine schnelle Skizze zeigt, welche Kurve oben liegt und wo die Radien beginnen.
• Radien von der Rotationsachse aus messen. Bei Rotation um y = -1 ist der Radius f(x) + 1, nicht f(x).
• Erst aufstellen, dann rechnen. Freitextaufgaben sagen oft „stelle einen Integralausdruck auf, berechne ihn aber nicht“. Übe saubere Ansätze mit richtigen Grenzen und \pi.
• Verschiebung und Strecke auseinanderhalten. Jedes Mal, wenn „Gesamtstrecke“ gefragt ist, prüfe, wo die Geschwindigkeit negativ ist.
• Aufgabensammlungen durcharbeiten. Probiere die Aufgaben zur Fläche zwischen Kurven und die Aufgaben zu Rotationskörpern, jeweils mit vollständigen Lösungen.

Den Überblick über den ganzen Kurs findest du im Leitfaden zu AP Calculus AB oder im Leitfaden zu AP Calculus BC.

AP und Advanced Placement sind eingetragene Marken des College Board, das nicht mit PracticeCalculus verbunden ist und diesen Leitfaden nicht unterstützt. Die Namen und Gewichtungen der Einheiten stammen aus dem Kursrahmen (Course Framework) des College Board; prüfe dort, ob sich etwas geändert hat.