CM042 UFPR Cálculo II: ementa, guia de estudo e exercícios

A CM042 Cálculo II é a disciplina de cálculo em várias variáveis do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná. Pela ficha da disciplina, tem 6 aulas semanais, 6 créditos e 90 aulas no semestre, e o pré-requisito é Cálculo I. A ementa foi aprovada pela Resolução nº 81/96-CEP. Este guia associa cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

O que a CM042 cobre

O programa oficial tem cinco itens. O primeiro trata de funções vetoriais de uma variável real: limites, derivadas e integrais, comprimento de arco, vetores unitários tangente e normal com interpretação física, comprimento de arco como parâmetro e curvatura.

O segundo é o cálculo diferencial de funções de mais de uma variável: limites e continuidade, gráfico e curvas de nível, derivadas parciais e diferenciabilidade, regra da cadeia, derivadas de ordem superior, derivadas direcionais e gradiente, planos tangentes e normais a superfícies, extremos, derivação de funções implícitas, multiplicadores de Lagrange e a obtenção de uma função a partir do seu gradiente (diferencial exata).

O terceiro é a integração múltipla: integrais duplas com cálculo de áreas e volumes, integração tripla e mudança de variáveis. O quarto é o cálculo vetorial: campos vetoriais, integrais de linha, integrais de superfície e os teoremas de Green, Gauss e Stokes. O quinto, "Tópicos de Cálculo", fica a critério do professor.

Em termos internacionais, a CM042 corresponde a um Calculus 3 completo.

Mapa de temas da CM042

A sequência de cálculo da UFPR

Exemplos de exercícios no nível da CM042

1. Curvatura. Para o círculo \mathbf{r}(t) = (R\cos t, R\sin t), |\mathbf{r}'| = R e |\mathbf{T}'| = 1, então \kappa = \frac{1}{R}: quanto maior o círculo, menor a curvatura.

2. Diferencial exata. \nabla f = (2x + y,\ x + 3y^2). Integrando em x: f = x^2 + xy + g(y); derivando em y: x + g'(y) = x + 3y^2, logo f = x^2 + xy + y^3 + C.

3. Integral tripla. O volume do tetraedro x, y, z \ge 0, x + y + z \le 1 é

Como ir bem na CM042

• Mantenha o ritmo. O programa é longo e cada parte usa a anterior.
• Desenhe regiões e superfícies antes de montar integrais.
• Pratique derivadas parciais na prática para ganhar tempo nas partes finais.
• Revise os erros comuns de cálculo antes das provas.

Dica: "obter uma função a partir do seu gradiente" e "campo conservativo" são a mesma ideia. Se você domina a primeira, a integral de linha de um campo conservativo vira só f(B) - f(A).