CM043 UFPR Cálculo III: ementa, guia de estudo e exercícios

A CM043 Cálculo III é a terceira disciplina de cálculo do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná. Pela ficha da disciplina, tem 4 aulas semanais, 4 créditos e 60 aulas no semestre, e os pré-requisitos são Cálculo II e Álgebra Linear. A ementa foi aprovada pela Resolução nº 81/96-CEP. Este guia associa cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

O que a CM043 cobre

O programa oficial tem quatro itens. O primeiro trata de séries numéricas e de potências: convergência, critérios de comparação, da razão e da raiz, séries de potências, séries de potências como séries de Taylor e raio de convergência.

O segundo, o mais longo, é de equações diferenciais ordinárias: o teorema de existência e unicidade e suas consequências, equações de segunda ordem, equações homogêneas com coeficientes constantes, soluções fundamentais, independência linear e Wronskiano, equação característica, método dos coeficientes a determinar e variação de parâmetros. Segue a solução em séries de equações lineares, pelo método das séries de potências e pelo método de Frobenius, com as equações de Euler, Legendre e Bessel. O item fecha com sistemas de EDOs lineares de primeira ordem, autovalores e sistemas não homogêneos.

O terceiro trata da transformada de Laplace: transformação integral, transformadas de funções elementares, inversas imediatas, convolução e aplicações. O quarto, "Tópicos de Cálculo", fica a critério do professor.

Em termos internacionais, a parte de séries corresponde ao final de um Calculus 2; o restante equivale a uma disciplina de equações diferenciais.

Mapa de temas da CM043

Equações de segunda ordem, Wronskiano, Frobenius e sistemas lineares não têm lição própria aqui; as lições acima cobrem as ferramentas de cálculo que esses métodos usam.

A sequência de cálculo da UFPR

Exemplos de exercícios no nível da CM043

1. Critério da razão. Para \sum \frac{n}{2^n}: \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2} < 1, então a série converge.

2. Coeficientes constantes. y'' - 3y' + 2y = 0 tem equação característica r^2 - 3r + 2 = 0, com raízes 1 e 2. A solução geral é y = c_1e^x + c_2e^{2x}.

3. Transformada de Laplace. Para y' + y = 0 com y(0) = 2: sY - 2 + Y = 0, logo Y = \frac{2}{s+1} e y = 2e^{-t}.

Como ir bem na CM043

• Tenha um roteiro para séries: termo geral, comparação com geométrica ou p-série, depois razão ou raiz.
• Revise frações parciais e autovalores antes da parte de Laplace e sistemas.
• Treine na prática e consulte o formulário para as séries de Taylor clássicas.
• Revise os erros comuns de cálculo antes das provas.

Dica: a transformada de Laplace troca derivadas por multiplicação por s. Uma EDO com coeficientes constantes vira uma equação algébrica em Y(s); a parte difícil costuma ser só a decomposição em frações parciais para voltar.