MA211 Unicamp Cálculo II: conteúdo, guia de estudo e exercícios

A MA211 Cálculo II é a segunda disciplina de cálculo da Unicamp e leva tudo o que foi visto na MA111 para funções de várias variáveis. Em um único semestre, ela passa por derivadas parciais, otimização, integrais múltiplas e os teoremas clássicos do cálculo vetorial. Este guia associa cada tema da MA211 a exercícios com correção imediata.

O que a MA211 cobre

Pelo Catálogo de Graduação 2026, a ementa da MA211 é: funções de várias variáveis reais, Fórmula de Taylor, máximos e mínimos, integrais múltiplas, integrais de linha, Teorema da Divergência e Teorema de Stokes. A carga é de 90 horas em sala (60 teóricas e 30 práticas), com frequência mínima de 75% e exame final.

Em termos internacionais, a MA211 é um Calculus 3 completo: a parte diferencial e a parte integral do cálculo multivariável. Na Unicamp, séries e equações diferenciais ficam para a MA311.

Mapa de temas da MA211

MA211 na sequência da Unicamp

A MA141 entra como pré-requisito porque vetores, retas, planos e quádricas são a linguagem da MA211. A Fórmula de Taylor de várias variáveis, por sua vez, prepara o terreno para as séries de funções da MA311.

Exemplos de exercícios no nível da MA211

1. Classificação de ponto crítico. Para f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x: f_x = 2x + y - 3 = 0 e f_y = x + 2y = 0 dão (2, -1). Como f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 = 4 - 1 = 3 > 0 e f_{xx} > 0, é um mínimo local.

2. Integral dupla em região geral. Na região entre y = x^2 e y = x, com 0 \le x \le 1:

3. Divergente. Para F = (x^2, y^2, z^2), \nabla \cdot F = 2x + 2y + 2z. No cubo [0,1]^3, pelo Teorema da Divergência, o fluxo para fora é

Como ir bem na MA211

• Chegue com a MA141 em dia. Produto escalar, vetorial e equações de planos aparecem desde a primeira semana.
• Desenhe regiões antes de integrar. Limites errados são a principal fonte de erro em integrais múltiplas.
• Pratique um tema por vez na prática: derivadas parciais, depois extremos, depois integrais.
• Revise integrais de uma variável no formulário, porque cada integral múltipla vira uma sequência delas.

Dica: os teoremas de Green, da Divergência e de Stokes dizem a mesma coisa em dimensões diferentes: a integral de uma derivada sobre uma região é igual a algo sobre a fronteira. Ler o guia do Teorema Fundamental do Cálculo com isso em mente ajuda.