Dérivée de √x : formule, démonstration et exemples
La dérivée de √x est 1/(2√x). Démonstrations par la puissance et la limite, version composée pour √u, le problème en x = 0 et exemples comme √(x² + 1).
Puissances, racines et polynômes Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- \dfrac{1}{2\sqrt{x}} pour x > 0
- Sous forme de puissance
- \dfrac{d}{dx}\,x^{1/2} = \tfrac{1}{2}x^{-1/2}
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}\sqrt{u} = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}
- En x = 0
- Non dérivable, la tangente est verticale
- Version intégrale
- \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C
Sur cette page
La dérivée de \sqrt{x} est \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, pour tout x > 0. Les racines ne sont que des puissances fractionnaires, donc la règle de la puissance s'en charge.
Courbe de √x et de sa dérivée
La dérivée est toujours positive, donc \sqrt{x} est toujours croissante. Mais elle croît de plus en plus lentement, et c'est pour cela que la courbe s'infléchit vers le bas.
Démonstration par la règle de la puissance
Écrivez la racine sous forme de puissance, \sqrt{x} = x^{1/2}, et appliquez la règle de la puissance :
Démonstration par la définition avec une limite
Prendre h = 0 donne \frac{0}{0}. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée \sqrt{x + h} + \sqrt{x} :
Quand h \to 0, on obtient \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Pourquoi x = 0 pose problème
En x = 0, la formule ferait diviser par zéro. Le taux d'accroissement y vaut \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}, qui grandit sans limite quand h \to 0^+. La tangente à l'origine est verticale, donc \sqrt{x} n'est pas dérivable en 0.
La version composée : dérivée de √u
| Fonction | Intérieur u | Dérivée |
|---|---|---|
| \sqrt{3x} | 3x | \frac{3}{2\sqrt{3x}} |
| \sqrt{x^2 + 1} | x^2 + 1 | \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} |
| \sqrt{1 - x^2} | 1 - x^2 | \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} |
| \sqrt{\sin x} | \sin x | \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}} |
Exemples corrigés
Exemple 1 : regrouper les puissances d'abord. Dérivons x\sqrt{x}. Comme x\sqrt{x} = x^{3/2} :
Exemple 2 : un quotient. \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}, donc sa dérivée est -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}.
Exemple 3 : une tangente. En x = 9, \sqrt{9} = 3 et la pente vaut \frac{1}{6}. La tangente est y = 3 + \frac{1}{6}(x - 9). Cette droite permet d'estimer \sqrt{10} \approx 3 + \frac{1}{6} \approx 3.167, une approximation affine classique. La valeur exacte est d'environ 3.162.
Erreurs fréquentes
- Oublier le 2. La réponse est \frac{1}{2\sqrt{x}}, et non \frac{1}{\sqrt{x}}.
- Diminuer l'exposant dans le mauvais sens. \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}, et non -\frac{3}{2} ou \frac{3}{2}.
- Oublier u'. \frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1} demande le facteur 2x au numérateur.
- Prendre x = 0. La formule n'a pas de valeur en 0. Dites que la dérivée n'existe pas en ce point plutôt que d'écrire \frac{1}{0}.
Le sens inverse est traité sur la page intégrale de √x. La page de la fonction racine carrée présente sa courbe et son domaine de définition.
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