Derivada de x²: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de x² é 2x. Veja a demonstração pela definição de limite, a regra da cadeia para u², o gráfico, retas tangentes e exemplos como (3x + 1)².
Potências, raízes e polinômios Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- 2x para todo x real
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\,u^2 = 2u\,u'
- Derivada segunda
- \dfrac{d^2}{dx^2}\,x^2 = 2
- Inclinação em x = 0
- 0, o fundo da parábola
- Versão para integrais
- \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C
Nesta página
A derivada de x^2 é 2x. Normalmente é a primeira derivada que os alunos calculam à mão, e ela mostra toda a ideia de derivada em uma linha de álgebra.
Gráfico de x² e de sua derivada
A derivada cresce à medida que x cresce, então a parábola fica mais inclinada quanto mais você se afasta do vértice. É assim que se parece a concavidade para cima.
Demonstração pela definição de limite
Comece por
Desenvolva o quadrado: (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2. Os termos x^2 se cancelam:
Você também pode chegar a isso pela regra da potência, ou pela regra do produto com x \cdot x: 1\cdot x + x \cdot 1 = 2x.
A versão com a regra da cadeia: derivada de u²
Quando algo diferente de x está ao quadrado, use a regra da cadeia:
| Função | Função de dentro u | Derivada 2u\,u' |
|---|---|---|
| (3x + 1)^2 | 3x + 1 | 6(3x + 1) |
| (x^2 + 5)^2 | x^2 + 5 | 4x(x^2 + 5) |
| \sin^2 x | \sin x | 2\sin x\cos x |
| (\ln x)^2 | \ln x | \frac{2\ln x}{x} |
A terceira linha é resolvida em detalhes na página da derivada de sen²x.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: um polinômio. Derive f(x) = 4x^2 - 3x + 8:
Exemplo 2: uma reta tangente. Encontre a tangente a y = x^2 em x = 3. O ponto é (3, 9) e a inclinação é 2(3) = 6:
Exemplo 3: onde a inclinação é 5? Resolva 2x = 5 para obter x = \frac{5}{2}. O ponto da parábola é \left(\frac{5}{2}, \frac{25}{4}\right).
Exemplo 4: derivada segunda. \frac{d}{dx}(2x) = 2, então \frac{d^2}{dx^2}x^2 = 2. Uma derivada segunda constante e positiva significa que a parábola se curva para cima em todo ponto.
Erros comuns
- Escrever 2x^2. O expoente precisa diminuir uma unidade: 2x^1 = 2x.
- Confundir x^2 com 2^x. Elas se parecem, mas 2^x é uma exponencial. Sua derivada é 2^x \ln 2, veja a derivada de 2ˣ.
- Esquecer o u'. \frac{d}{dx}(5x - 2)^2 = 10(5x - 2), não 2(5x - 2).
- Elevar a derivada ao quadrado. \frac{d}{dx}(x^2) não é \left(\frac{d}{dx}x\right)^2 = 1.
No sentido inverso, \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C está na página da integral de x². Pratique mais com os exercícios de regra da potência.
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