Ableitung von Wurzel x (√x): Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von √x ist 1/(2√x). Mit Beweisen über Potenzregel und Grenzwert, der Kettenregel für √u, dem Problem bei x = 0 und Beispielen wie √(x² + 1).
Potenzen, Wurzeln und Polynome Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- \dfrac{1}{2\sqrt{x}} für x > 0
- Als Potenz
- \dfrac{d}{dx}\,x^{1/2} = \tfrac{1}{2}x^{-1/2}
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\sqrt{u} = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}
- Bei x = 0
- Nicht differenzierbar, die Tangente ist senkrecht
- Als Integral
- \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \sqrt{x} ist \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, für jedes x > 0. Wurzeln sind einfach Potenzen mit gebrochenem Exponenten, also erledigt die Potenzregel das.
Graph von √x und seiner Ableitung
Die Ableitung ist immer positiv, also steigt \sqrt{x} immer. Sie steigt aber immer langsamer, deshalb krümmt sich die Kurve nach unten.
Beweis mit der Potenzregel
Schreibe die Wurzel als Potenz, \sqrt{x} = x^{1/2}, und nutze die Potenzregel:
Beweis mit dem Differenzenquotienten
Setzt du h = 0 ein, erhältst du \frac{0}{0}. Erweitere deshalb Zähler und Nenner mit \sqrt{x + h} + \sqrt{x} (dritte binomische Formel):
Lass jetzt h \to 0 gehen und du erhältst \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Warum x = 0 ein Problem ist
Bei x = 0 würde die Formel durch null teilen. Der Differenzenquotient ist dort \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}, und der wächst für h \to 0^+ über alle Grenzen. Die Tangente im Ursprung ist senkrecht, also ist \sqrt{x} bei 0 nicht differenzierbar.
Mit der Kettenregel: Ableitung von √u
| Funktion | Innere Funktion u | Ableitung |
|---|---|---|
| \sqrt{3x} | 3x | \frac{3}{2\sqrt{3x}} |
| \sqrt{x^2 + 1} | x^2 + 1 | \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} |
| \sqrt{1 - x^2} | 1 - x^2 | \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} |
| \sqrt{\sin x} | \sin x | \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}} |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: erst Potenzen zusammenfassen. Leite x\sqrt{x} ab. Wegen x\sqrt{x} = x^{3/2} gilt:
Beispiel 2: ein Kehrwert. Es gilt \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}, die Ableitung ist also -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}.
Beispiel 3: eine Tangente. Bei x = 9 ist \sqrt{9} = 3 und die Steigung \frac{1}{6}. Die Tangente lautet y = 3 + \frac{1}{6}(x - 9). Mit dieser Geraden schätzt man \sqrt{10} \approx 3 + \frac{1}{6} \approx 3.167, eine klassische lineare Approximation. Der wahre Wert ist ungefähr 3.162.
Typische Fehler
- Die 2 vergessen. Das Ergebnis ist \frac{1}{2\sqrt{x}}, nicht \frac{1}{\sqrt{x}}.
- Den Exponenten falsch verringern. \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}, nicht -\frac{3}{2} oder \frac{3}{2}.
- u' weglassen. \frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1} braucht den Faktor 2x im Zähler.
- x = 0 einsetzen. Die Formel hat bei 0 keinen Wert. Sag lieber, dass die Ableitung dort nicht existiert, statt \frac{1}{0} zu schreiben.
Die Gegenrichtung steht auf der Seite zum Integral von √x. Die Seite zur Wurzelfunktion behandelt ihren Graphen und Definitionsbereich.
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