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Potenzen, Wurzeln und Polynome

Ableitung von 1/x²: Formel, Beweis und Beispiele

Die Ableitung von 1/x² ist -2/x³. Mit Beweisen über Potenz- und Quotientenregel, der Kettenregel für 1/u², einem Graphen und Beispielen wie 1/(3x - 2)².

Potenzen, Wurzeln und Polynome Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3}
Ableitung
-\dfrac{2}{x^3} für x \ne 0
Als Potenz
\dfrac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-3}
Mit Kettenregel
\dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u^2} = -\dfrac{2u'}{u^3}
Zweite Ableitung
\dfrac{6}{x^4}
Als Integral
\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C
Auf dieser Seite
  1. Graph von 1/x² und seiner Ableitung
  2. Beweis mit der Potenzregel
  3. Beweis mit der Quotientenregel
  4. Beweis mit dem Differenzenquotienten
  5. Mit der Kettenregel: Ableitung von 1/u²
  6. Weitere Rechenbeispiele
  7. So merkst du es dir
  8. Typische Fehler

Die Ableitung von \dfrac{1}{x^2} ist -\dfrac{2}{x^3}. Hol die Potenz als x^{-2} nach oben, und die Potenzregel erledigt den Rest in einem Schritt.

\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3}, \qquad x \ne 0

Graph von 1/x² und seiner Ableitung

Graph von y = 1/x² und seiner Ableitung y = -2/x³
Links steigt \frac{1}{x^2} zur Asymptote hin an, also ist die Ableitung positiv. Rechts fällt der Graph, also ist die Ableitung negativ.

Der Graph von \frac{1}{x^2} ist achsensymmetrisch zur y-Achse, deshalb sind seine Steigungen an den Stellen x und -x entgegengesetzt gleich. Darum ist die Ableitung eine ungerade Funktion.

Beweis mit der Potenzregel

\frac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-2 - 1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}

Das ist die Potenzregel mit n = -2. Aufpassen musst du nur bei der Subtraktion: -2 - 1 = -3.

Beweis mit der Quotientenregel

Mit Zähler 1 und Nenner x^2 liefert die Quotientenregel

\frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}

Gleiches Ergebnis, mehr Arbeit. Als Potenz umzuschreiben ist die schnellere Gewohnheit.

Beweis mit dem Differenzenquotienten

\frac{\frac{1}{(x + h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h} = \frac{x^2 - (x + h)^2}{h\,x^2(x + h)^2} = \frac{-2x - h}{x^2(x + h)^2}

Für h \to 0 wird daraus \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}.

Mit der Kettenregel: Ableitung von 1/u²

\frac{d}{dx}\,u^{-2} = -2u^{-3}\cdot u' = -\frac{2u'}{u^3}

Beispiel 1. \frac{d}{dx}\,\frac{1}{(3x - 2)^2} = -\frac{2 \cdot 3}{(3x - 2)^3} = -\frac{6}{(3x - 2)^3}.

Beispiel 2. \frac{d}{dx}\,\frac{1}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^3} = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^3}.

Beispiel 3. \frac{d}{dx}\,\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{2(-\sin x)}{\cos^3 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}. Wegen \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x passt das zur Ableitung von sec²x, also 2\sec^2 x\tan x.

Weitere Rechenbeispiele

Beispiel 4: ein Gesetz aus der Physik. Gravitation und Lichtintensität folgen F = \frac{k}{r^2}. Die Änderungsrate in Abhängigkeit vom Abstand ist \frac{dF}{dr} = -\frac{2k}{r^3}. Verdoppelst du den Abstand, sinkt die Kraft auf ein Viertel und die Änderungsrate auf ein Achtel.

Beispiel 5: zweite Ableitung. \frac{d}{dx}\left(-2x^{-3}\right) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}. Sie ist überall positiv, also sind beide Äste linksgekrümmt.

So merkst du es dir

Sieh \frac{1}{x^2} als Potenz, die zufällig im Nenner steht. Hol sie als x^{-2} nach oben, wende die Potenzregel wie bei jeder anderen Potenz an und schreib das Ergebnis wieder als Bruch, wenn du willst. Dieselben drei Schritte funktionieren auch für \frac{1}{x^3}, \frac{1}{x^{10}} oder \frac{1}{\sqrt{x}}. Ein schneller Vorzeichencheck hilft ebenfalls: Für positive x fällt die Kurve, also muss die Ableitung dort negativ sein, und -\frac{2}{x^3} ist es.

Typische Fehler

  1. -2x^{-1} schreiben. Eins weniger als -2 ist -3.
  2. Die Ableitung des Nenners umdrehen. \frac{1}{2x} ist nicht die Ableitung von \frac{1}{x^2}.
  3. Das Minuszeichen verlieren. Der Exponent -2 kommt als negativer Faktor nach vorne.

Rückwärts gelesen steht \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C auf der Seite zum Integral von 1/x². Zum Vergleich: die Ableitung von 1/x.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist die Ableitung von 1/x²?
Sie lautet -\frac{2}{x^3}. Schreibe \frac{1}{x^2} = x^{-2} und wende die Potenzregel an: -2x^{-3}.

Was ist die Ableitung von 3/x²?
Sie lautet 3 \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right) = -\frac{6}{x^3}.

Was ist die Ableitung von 1/(x + 1)²?
Mit der Kettenregel erhältst du -2(x + 1)^{-3} \cdot 1 = -\frac{2}{(x + 1)^3}.

Ist die Ableitung von 1/x² gleich 1/(2x)?
Nein. Den Nenner abzuleiten und den Bruch umzudrehen funktioniert nicht. Richtig ist -\frac{2}{x^3}.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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Weitere ableitungen

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