Integral de arctg x: fórmula, passo a passo e exemplos

A integral de \arctan x é x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C. Nenhuma regra básica desfaz a arctg diretamente, então o caminho padrão é a integração por partes com um fator 1 "escondido".

Gráfico de arctg x e de sua primitiva

Como integrar arctg x passo a passo

O truque é escrever \arctan x como \arctan x \cdot 1 e usar a integração por partes, \int u\,dv = uv - \int v\,du.

1. Escolha as partes. u = \arctan x e dv = dx. Então du = \frac{1}{1+x^2}\,dx e v = x.
2. Aplique a fórmula. \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx
3. Resolva a integral que sobrou com w = 1 + x^2, dw = 2x\,dx: \int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{dw}{w} = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C
4. Junte. \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C

Por que escolher u = \arctan x? Sua derivada \frac{1}{1+x^2} é algébrica e muito mais fácil de manipular. Na ordem LIATE, as trigonométricas inversas vêm logo no começo, então são boas escolhas para u.

Verificação por derivação

As duas frações se cancelam exatamente, e sobra \arctan x.

Integrais definidas

De 0 a 1:

De −1 a 1: \arctan x é uma função ímpar, então \int_{-1}^{1}\arctan x\,dx = 0. A área acima do eixo, à direita, cancela a área abaixo, à esquerda.

De 0 a √3: \sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\ln 4 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \ln 2 \approx 1.121.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: uma entrada multiplicada. \int \arctan(2x)\,dx. Seja u = 2x, então dx = \frac{du}{2}:

Verificação: a derivada é \arctan 2x + \frac{2x}{1+4x^2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{8x}{1+4x^2} = \arctan 2x.

Exemplo 2: x vezes arctg x. Tome u = \arctan x e dv = x\,dx, então v = \frac{x^2}{2}:

Escreva \frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}, cuja integral é x - \arctan x. Assim,

Exemplo 3: arctg da raiz quadrada. Para \int\arctan\sqrt{x}\,dx, faça primeiro x = t^2 e depois use partes. O resultado é (x+1)\arctan\sqrt{x} - \sqrt{x} + C, o que você pode confirmar derivando.

Erros comuns

1. Responder \frac{1}{1+x^2}. Essa é a derivada de \arctan x, e não sua integral. Veja a derivada de arctg x.
2. Confundir arctg com o inverso de tg. \tan^{-1}x é a função inversa. \frac{1}{\tan x} = \cot x é outra função; veja a integral de cotg x.
3. Perder o fator \frac{1}{2}. Em \int\frac{x}{1+x^2}\,dx, a substituição dá \frac{1}{2}\ln(1+x^2), e não \ln(1+x^2).
4. Inverter os papéis. Escolher u = 1 e dv = \arctan x\,dx exige justamente a integral que você está tentando achar. Sempre derive a função trigonométrica inversa.

Para obter a arctg como resposta em vez de integrá-la, veja a integral de 1/(1+x²). O mesmo truque de partes aparece na página da integral de ln x, e o guia de integração por partes traz mais prática.