Derivada de cosh x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de cosh x es senh x, sin signo menos. Demostración a partir de exponenciales, el ejemplo del cable colgante, la regla de la cadena y una gráfica.
Derivadas hiperbólicas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- \sinh x
- Definición
- \cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'
- Identidad clave
- \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1
- Derivada de la inversa
- \dfrac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} para x > 1
En esta página
La derivada de \cosh x es \sinh x. Cuidado con el signo: a diferencia del coseno circular, no hay signo menos.
Demostración a partir de la definición
El coseno hiperbólico es la media de e^x y e^{-x}:
Deriva cada término. La derivada de eˣ es e^x, y la derivada de e^(−x) es -e^{-x}:
Gráfica de cosh x y de su derivada
La derivada \sinh x es negativa para x < 0 y positiva para x > 0, así que x = 0 es un mínimo. La segunda derivada es \cosh x \ge 1 > 0, así que la curva es cóncava hacia arriba en todas partes.
El cable colgante
Una cadena o un cable que cuelga por su propio peso toma la forma y = a\cosh\frac{x}{a}, llamada catenaria. Su pendiente en cualquier punto es
Así que el cable es horizontal en su punto más bajo y se vuelve más inclinado hacia los soportes. La fórmula de la longitud de arco también se simplifica muy bien, porque 1 + \sinh^2 u = \cosh^2 u:
Versión con la regla de la cadena y ejemplos
| Función | Derivada |
|---|---|
| \cosh(2x) | 2\sinh(2x) |
| \cosh(x^2) | 2x\sinh(x^2) |
| \cosh(\ln x) | \frac{\sinh(\ln x)}{x} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right) |
| \cosh^2 x | 2\cosh x\sinh x = \sinh 2x |
| x\cosh x | \cosh x + x\sinh x |
En la tercera fila, \sinh(\ln x) = \frac{x - 1/x}{2}, así que al dividir entre x se obtiene \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right).
Ejemplo resuelto: comprobar la identidad. Deriva \cosh^2 x - \sinh^2 x:
Una derivada nula significa que la expresión es constante. En x = 0 vale 1 - 0 = 1, lo que demuestra que \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.
Derivada de arcosh x
Para x > 1, el argumento del coseno hiperbólico (su inversa) tiene derivada
Toma \cosh y = x con y > 0, de modo que \sinh y\,y' = 1 y \sinh y = \sqrt{\cosh^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1}.
Errores comunes
- Escribir -\sinh x. Copiar el patrón circular es el error más común.
- Pensar que \cosh x puede ser menor que 1. Su mínimo es \cosh 0 = 1.
- Olvidar la derivada del interior. \frac{d}{dx}\cosh(4x) = 4\sinh(4x).
Consulta la derivada de senh x, la derivada de tanh x y la página de funciones hiperbólicas para ver gráficas e identidades.
Practícalo ahora
Regla de la cadena: e y ln
Resuelve problemas reales de este tema con corrección al instante, pistas y una solución paso a paso para cada respuesta. Gratis y sin registro para empezar.
Practicar esta lección