Dérivée de cosh x : formule, démonstration et exemples
La dérivée de cosh x (ch x) est sinh x, sans signe moins. Démonstration par les exponentielles, la chaînette, exemples composés et courbe.
Dérivées hyperboliques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- \sinh x
- Définition
- \cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'
- Identité clé
- \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1
- Dérivée de la réciproque
- \dfrac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} pour x > 1
Sur cette page
La dérivée de \cosh x est \sinh x. Attention au signe : contrairement au cosinus circulaire, il n'y a pas de moins.
Démonstration à partir de la définition
Le cosinus hyperbolique (noté aussi ch) est la moyenne de e^x et e^{-x} :
On dérive chaque terme. La dérivée de eˣ est e^x, et la dérivée de e^(−x) est -e^{-x} :
Courbe de cosh x et de sa dérivée
La dérivée \sinh x est négative pour x < 0 et positive pour x > 0, donc x = 0 est un minimum. La dérivée seconde est \cosh x \ge 1 > 0, donc la courbe est convexe partout.
La chaînette
Une chaîne ou un câble suspendu sous son propre poids prend la forme y = a\cosh\frac{x}{a}, appelée chaînette. Sa pente en tout point vaut
Le câble est donc horizontal en son point le plus bas et devient plus raide vers les points d'attache. La formule de la longueur d'arc se simplifie elle aussi joliment, car 1 + \sinh^2 u = \cosh^2 u :
Version composée et exemples
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \cosh(2x) | 2\sinh(2x) |
| \cosh(x^2) | 2x\sinh(x^2) |
| \cosh(\ln x) | \frac{\sinh(\ln x)}{x} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right) |
| \cosh^2 x | 2\cosh x\sinh x = \sinh 2x |
| x\cosh x | \cosh x + x\sinh x |
Dans la troisième ligne, \sinh(\ln x) = \frac{x - 1/x}{2}, donc en divisant par x on obtient \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right).
Exemple corrigé : vérifier l'identité. Dérivons \cosh^2 x - \sinh^2 x :
Une dérivée nulle signifie que l'expression est constante. En x = 0, elle vaut 1 - 0 = 1, ce qui démontre \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.
Dérivée de arcosh x
Pour x > 1, la réciproque du cosinus hyperbolique a pour dérivée
On pose \cosh y = x avec y > 0, d'où \sinh y\,y' = 1 et \sinh y = \sqrt{\cosh^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1}.
Erreurs fréquentes
- Écrire -\sinh x. Recopier le schéma circulaire est l'erreur la plus fréquente.
- Croire que \cosh x peut être inférieur à 1. Son minimum est \cosh 0 = 1.
- Oublier la dérivée intérieure. \frac{d}{dx}\cosh(4x) = 4\sinh(4x).
Voir la dérivée de sinh x, la dérivée de tanh x et la page des fonctions hyperboliques pour les courbes et les identités.
Entraîne-toi maintenant
Dérivation en chaîne : e et ln
Résous de vrais problèmes sur ce thème avec une correction immédiate, des indices et une solution pas à pas pour chaque réponse. Gratuit, sans inscription pour commencer.
S'entraîner sur cette leçon