Derivada de eˣ: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de eˣ es eˣ. Descubre por qué con una demostración por límites, la regla de la cadena para e^u, una gráfica y ejemplos como e^(3x) y x²eˣ.
Derivadas exponenciales y logarítmicas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- e^x
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}e^u = e^u\,u'
- Todas las derivadas sucesivas
- e^x
- Valor de e
- e \approx 2.71828
- Versión para integrales
- \int e^x\,dx = e^x + C
En esta página
La derivada de e^x es e^x. La función y su pendiente son iguales en cada punto, lo que convierte a e^x en la función más importante del cálculo.
Gráfica de eˣ
Como e^x > 0 para todo x, la pendiente siempre es positiva, así que e^x siempre crece. Y como la pendiente aumenta con la altura, la curva se curva hacia arriba cada vez más deprisa.
Demostración con la definición de límite
Usa la definición de derivada como límite:
Para cualquier base a, la derivada de a^x es a^x por la constante \lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h}. Para a = 2 esa constante vale aproximadamente 0.693. Para a = 3 vale aproximadamente 1.099. El número e \approx 2.71828 es la base en la que la constante vale exactamente 1:
Puedes comprobarlo numéricamente: con h = 0.001, \frac{e^{0.001} - 1}{0.001} \approx 1.0005.
Versión con la regla de la cadena: derivada de e^u
Cuando el exponente es algo distinto de x, usa la regla de la cadena:
Copia la exponencial tal como está y multiplica por la derivada del exponente.
| Función | Exponente u | Derivada |
|---|---|---|
| e^{3x} | 3x | 3e^{3x} |
| e^{-x} | -x | -e^{-x} |
| e^{x^2} | x^2 | 2xe^{x^2} |
| e^{\sin x} | \sin x | \cos x\,e^{\sin x} |
| e^{\sqrt{x}} | \sqrt{x} | \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} |
Algunas tienen su propia página: e^(2x), e^(−x) y e^(x²).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: regla del producto. Para f(x) = x^2e^x, la regla del producto da
Sacar e^x como factor común facilita encontrar dónde f'(x) = 0: en x = 0 y x = -2.
Ejemplo 2: regla del cociente. Para g(x) = \frac{e^x}{x}, la regla del cociente da
Ejemplo 3: derivadas sucesivas. Todas las derivadas de e^x son e^x, así que f^{(n)}(x) = e^x para todo n. Por eso la serie de Maclaurin de e^x es 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots.
Errores comunes
- Usar la regla de la potencia. \frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x - 1}. La regla de la potencia necesita un exponente constante.
- Olvidar el factor de la regla de la cadena. \frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}, no e^{5x}.
- Cambiar el exponente. La derivada de e^{x^2} conserva e^{x^2}; no se convierte en e^{2x}.
- Tratar e como una variable. e es una constante, así que \frac{d}{dx}e^2 = 0 y \frac{d}{dx}x^e = ex^{e - 1}.
El resultado inverso, \int e^x\,dx = e^x + C, está en la página de la integral de eˣ. La función inversa es el logaritmo natural; consulta la derivada de ln x y la función exponencial natural.
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