Ableitung von eˣ: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von eˣ ist eˣ. Mit Begründung über den Grenzwert, der Kettenregel für e^u, einem Graphen und Rechenbeispielen wie e^(3x) und x²eˣ.
Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- e^x
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}e^u = e^u\,u'
- Jede höhere Ableitung
- e^x
- Wert von e
- e \approx 2.71828
- Als Integral
- \int e^x\,dx = e^x + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von e^x ist e^x. Funktionswert und Steigung sind an jeder Stelle gleich, und das macht e^x zur wichtigsten Funktion der Analysis.
Graph von eˣ
Weil e^x > 0 für jedes x gilt, ist die Steigung immer positiv, also steigt e^x immer. Und weil die Steigung mit dem Funktionswert wächst, biegt sich die Kurve immer schneller nach oben.
Beweis mit dem Differenzenquotienten
Nutze die Definition der Ableitung als Grenzwert:
Für jede Basis a ist die Ableitung von a^x gleich a^x mal der Konstanten \lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h}. Für a = 2 ist diese Konstante ungefähr 0.693, für a = 3 ungefähr 1.099. Die Zahl e \approx 2.71828 ist genau die Basis, bei der die Konstante 1 ist:
Du kannst das numerisch prüfen: Mit h = 0.001 ist \frac{e^{0.001} - 1}{0.001} \approx 1.0005.
Mit der Kettenregel: Ableitung von e^u
Steht im Exponenten etwas anderes als x, nimmst du die Kettenregel:
Schreibe die Exponentialfunktion genau so ab, wie sie ist, und multipliziere mit der Ableitung des Exponenten.
| Funktion | Exponent u | Ableitung |
|---|---|---|
| e^{3x} | 3x | 3e^{3x} |
| e^{-x} | -x | -e^{-x} |
| e^{x^2} | x^2 | 2xe^{x^2} |
| e^{\sin x} | \sin x | \cos x\,e^{\sin x} |
| e^{\sqrt{x}} | \sqrt{x} | \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} |
Einige davon haben eigene Seiten: e^(2x), e^(−x) und e^(x²).
Rechenbeispiele
Beispiel 1: Produktregel. Für f(x) = x^2e^x liefert die Produktregel
Klammerst du e^x aus, findest du leicht, wo f'(x) = 0 ist: bei x = 0 und x = -2.
Beispiel 2: Quotientenregel. Für g(x) = \frac{e^x}{x} liefert die Quotientenregel
Beispiel 3: höhere Ableitungen. Jede Ableitung von e^x ist e^x, also gilt f^{(n)}(x) = e^x für jedes n. Deshalb lautet die Maclaurin-Reihe von e^x 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots.
Typische Fehler
- Die Potenzregel anwenden. \frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x - 1}. Die Potenzregel braucht einen konstanten Exponenten.
- Den Faktor aus der Kettenregel vergessen. \frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}, nicht e^{5x}.
- Den Exponenten verändern. Die Ableitung von e^{x^2} behält e^{x^2}, daraus wird nicht e^{2x}.
- e wie eine Variable behandeln. e ist eine Konstante, also gilt \frac{d}{dx}e^2 = 0 und \frac{d}{dx}x^e = ex^{e - 1}.
Die Umkehrung, \int e^x\,dx = e^x + C, steht auf der Seite zum Integral von eˣ. Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus, siehe die Ableitung von ln x und die natürliche Exponentialfunktion.
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