Derivada de log x: base 10 e base b, com exemplos
A derivada de log₁₀ x é 1/(x ln 10), e a de log_b x é 1/(x ln b). Veja a demonstração por mudança de base, exemplos com a regra da cadeia e o gráfico.
Derivadas exponenciais e logarítmicas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada de log₁₀ x
- \dfrac{1}{x\ln 10} \approx \dfrac{0.4343}{x}
- Base qualquer
- \dfrac{d}{dx}\log_b x = \dfrac{1}{x\ln b}
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\log_b u = \dfrac{u'}{u\ln b}
- Mudança de base
- \log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}
- Domínio
- x > 0
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A derivada de \log_{10} x é \dfrac{1}{x\ln 10}. Para um logaritmo em qualquer base b:
É a derivada de ln x, \frac{1}{x}, dividida pela constante \ln b.
Qual logaritmo é "log x"?
A notação depende de onde você está:
- Nas calculadoras, na química e no ensino médio, \log x significa \log_{10} x.
- Em muitos livros de cálculo, na matemática mais avançada e na maioria das linguagens de programação, \log x significa \ln x.
- Na computação, \log x muitas vezes significa \log_2 x.
Se não tiver certeza, olhe o gabarito: uma resposta com \ln 10 indica base 10.
Demonstração pela fórmula de mudança de base
A fórmula de mudança de base transforma qualquer logaritmo em um logaritmo natural:
Como \frac{1}{\ln b} é uma constante, a regra da constante multiplicativa dá
Para a base 10, \frac{1}{\ln 10} \approx 0.4343. Então um logaritmo na base 10 cresce a cerca de 43\% da taxa do logaritmo natural.
Gráfico de log₁₀ x e de sua derivada
Derivadas para as bases mais comuns
| Função | Derivada | Aproximação |
|---|---|---|
| \ln x | \frac{1}{x} | \frac{1}{x} |
| \log_{10} x | \frac{1}{x\ln 10} | \frac{0.4343}{x} |
| \log_2 x | \frac{1}{x\ln 2} | \frac{1.4427}{x} |
| \log_3 x | \frac{1}{x\ln 3} | \frac{0.9102}{x} |
Versão com a regra da cadeia e exemplos
Exemplo 1. \frac{d}{dx}\log_{10}(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 10}.
Exemplo 2. \frac{d}{dx}\log_2(3x) = \frac{3}{3x\ln 2} = \frac{1}{x\ln 2}. O 3 se cancela, assim como na derivada de ln(2x).
Exemplo 3: regra do produto. Para f(x) = x\log_{10} x,
Exemplo 4: decibéis. O nível sonoro é L = 10\log_{10}\frac{I}{I_0}. Então \frac{dL}{dI} = \frac{10}{I\ln 10}, ou seja, cada unidade extra de intensidade importa menos à medida que I cresce.
Inversa de aˣ
\log_b x é a inversa de b^x, cuja derivada é b^x\ln b (veja a derivada de 2ˣ e aˣ). Uma tem \ln b no numerador e a outra no denominador, como prevê a derivada da função inversa.
Erros comuns
- Escrever \frac{1}{x} para a base 10. Isso só está certo para o logaritmo natural.
- Colocar \log 10 em vez de \ln 10. O fator é sempre um logaritmo natural. (\log_{10} 10 = 1, o que o cancelaria indevidamente.)
- Escrever \frac{\ln 10}{x}. O \ln b vai no denominador.
Para mais, veja as funções logarítmicas e os exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.
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