Dérivée de ln(2x) : pourquoi elle vaut 1/x, avec exemples
La dérivée de ln(2x) est 1/x, comme pour ln x. Deux démonstrations, une courbe qui montre pourquoi les pentes coïncident, et le cas différent de ln(2x + 1).
Dérivées exponentielles et logarithmiques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- \dfrac{1}{x} pour x > 0
- Forme générale
- \dfrac{d}{dx}\ln(kx) = \dfrac{1}{x} pour toute constante k > 0
- Propriété clé du logarithme
- \ln(2x) = \ln 2 + \ln x
- Domaine de définition de ln(2x)
- x > 0
- Comparaison
- \dfrac{d}{dx}\ln(2x + 1) = \dfrac{2}{2x + 1}
Sur cette page
La dérivée de \ln(2x) est \dfrac{1}{x}. Cela surprend beaucoup d'élèves : le 2 disparaît, et la réponse est la même que la dérivée de ln x.
Démonstration 1 : la règle de dérivation en chaîne
Posons u = 2x, donc u' = 2. La règle de dérivation en chaîne pour les logarithmes dit « dérivée de l'intérieur divisée par l'intérieur » :
Le 2 du numérateur se simplifie avec le 2 du dénominateur.
Démonstration 2 : décomposer le logarithme d'abord
La propriété du logarithme d'un produit dit \ln(ab) = \ln a + \ln b. Donc
Or \ln 2 \approx 0.693 n'est qu'un nombre, et la dérivée d'une constante vaut 0 :
Cette seconde démonstration explique pourquoi la réponse est la même que pour \ln x.
Courbe : deux courbes, mêmes pentes
Pour tout x, les deux courbes sont séparées par la même distance verticale, donc leurs tangentes sont parallèles. En x = 2, par exemple, les deux ont une pente de \frac{1}{2}.
Quand la constante ne se simplifie pas
L'astuce ne fonctionne que si l'intérieur est une constante fois x. Comparez :
| Fonction | Dérivée | La constante se simplifie-t-elle ? |
|---|---|---|
| \ln(2x) | \frac{2}{2x} = \frac{1}{x} | oui |
| \ln(5x) | \frac{5}{5x} = \frac{1}{x} | oui |
| \ln(2x + 1) | \frac{2}{2x + 1} | non |
| \ln(x + 2) | \frac{1}{x + 2} | non |
| \ln(2x^3) | \frac{6x^2}{2x^3} = \frac{3}{x} | le 2 se simplifie, la puissance reste |
La dernière ligne fonctionne parce que \ln(2x^3) = \ln 2 + 3\ln x.
Exemples corrigés
Exemple 1 : une tangente. En x = \frac{1}{2}, \ln(2x) = \ln 1 = 0 et la pente vaut \frac{1}{1/2} = 2. La tangente est
Exemple 2 : règle du produit. Pour f(x) = x\ln(2x), la règle du produit donne
Exemple 3 : un carré. Pour g(x) = \left[\ln(2x)\right]^2, la fonction extérieure est un carré :
Erreurs fréquentes
- Écrire \frac{1}{2x}. Vous avez divisé par l'intérieur mais oublié de multiplier par sa dérivée, 2.
- Écrire \frac{2}{x}. Vous avez multiplié par 2 mais n'avez pas gardé le 2 au dénominateur.
- Simplifier dans \ln(2x + 1). Le 2 ne se simplifie que si l'intérieur est exactement 2x.
Voir aussi la dérivée de ln(x²), où c'est une puissance et non un multiple qui se trouve dans le logarithme, et entraînez-vous avec les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes.
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