Derivada de ln(2x): por qué es 1/x, con ejemplos
La derivada de ln(2x) es 1/x, igual que la de ln x. Dos demostraciones, una gráfica de por qué coinciden las pendientes y el caso distinto de ln(2x + 1).
Derivadas exponenciales y logarítmicas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- \dfrac{1}{x} para x > 0
- Forma general
- \dfrac{d}{dx}\ln(kx) = \dfrac{1}{x} para cualquier constante k > 0
- Propiedad clave de los logaritmos
- \ln(2x) = \ln 2 + \ln x
- Dominio de ln(2x)
- x > 0
- Compara
- \dfrac{d}{dx}\ln(2x + 1) = \dfrac{2}{2x + 1}
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La derivada de \ln(2x) es \dfrac{1}{x}. Esto sorprende a muchos estudiantes: el 2 desaparece y el resultado coincide con la derivada de ln x.
Demostración 1: la regla de la cadena
Sea u = 2x, de modo que u' = 2. La regla de la cadena para logaritmos dice "la derivada del interior entre el interior":
El 2 del numerador se simplifica con el 2 del denominador.
Demostración 2: separar primero el logaritmo
La propiedad del producto de los logaritmos dice que \ln(ab) = \ln a + \ln b. Así que
Ahora \ln 2 \approx 0.693 es solo un número, y la derivada de una constante es 0:
Esta segunda demostración explica por qué el resultado es el mismo que para \ln x.
Gráfica: dos curvas, mismas pendientes
Para cualquier x, las dos curvas están separadas la misma distancia vertical, así que sus rectas tangentes son paralelas. En x = 2, por ejemplo, ambas tienen pendiente \frac{1}{2}.
Cuando la constante no se simplifica
El truco solo funciona cuando el interior es una constante por x. Compara:
| Función | Derivada | ¿Se simplifica la constante? |
|---|---|---|
| \ln(2x) | \frac{2}{2x} = \frac{1}{x} | sí |
| \ln(5x) | \frac{5}{5x} = \frac{1}{x} | sí |
| \ln(2x + 1) | \frac{2}{2x + 1} | no |
| \ln(x + 2) | \frac{1}{x + 2} | no |
| \ln(2x^3) | \frac{6x^2}{2x^3} = \frac{3}{x} | el 2 se simplifica, la potencia se queda |
La última fila funciona porque \ln(2x^3) = \ln 2 + 3\ln x.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una recta tangente. En x = \frac{1}{2}, \ln(2x) = \ln 1 = 0 y la pendiente es \frac{1}{1/2} = 2. La recta tangente es
Ejemplo 2: regla del producto. Para f(x) = x\ln(2x), la regla del producto da
Ejemplo 3: un cuadrado. Para g(x) = \left[\ln(2x)\right]^2, la función exterior es un cuadrado:
Errores comunes
- Escribir \frac{1}{2x}. Dividiste entre el interior pero olvidaste multiplicar por su derivada, 2.
- Escribir \frac{2}{x}. Multiplicaste por 2 pero no conservaste el 2 en el denominador.
- Simplificar en \ln(2x + 1). El 2 solo se simplifica cuando el interior es exactamente 2x.
Consulta también la derivada de ln(x²), donde dentro del logaritmo hay una potencia en lugar de un múltiplo, y practica más con los ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
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Regla de la cadena: cualquier función
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