Derivada de una constante: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de una constante es 0. Demostración con la definición de límite y casos engañosos como π², e³, ln 5 o constantes que multiplican.
Potencias, raíces y polinomios Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- 0 para toda constante c
- Gráfica
- Una recta horizontal, que tiene pendiente 0
- Constante sumada
- \dfrac{d}{dx}\big(f(x) + c\big) = f'(x)
- Constante multiplicada
- \dfrac{d}{dx}\big(c\,f(x)\big) = c\,f'(x)
- Versión para integrales
- \int c\,dx = cx + C
En esta página
La derivada de una constante es 0. Si f(x) = c para algún número fijo c, entonces f'(x) = 0 para todo x.
Gráfica de una constante y de su derivada
Demostración con la definición de límite
Para f(x) = c, tanto f(x + h) como f(x) valen c:
El numerador vale exactamente 0 para todo h \ne 0, así que el límite es 0. Es la regla de la constante.
También puedes verlo con la regla de la potencia: c = c\,x^0, y \frac{d}{dx}\,x^0 = 0 \cdot x^{-1} = 0.
Cómo reconocer constantes disfrazadas
Lo difícil no es la regla, sino reconocer una constante. Todo lo que no contiene la variable es una constante, tenga el aspecto que tenga.
| Expresión | ¿Constante? | Derivada respecto a x |
|---|---|---|
| 7 | sí | 0 |
| \pi^2 | sí | 0 |
| e^3 | sí | 0 |
| \ln 5 | sí | 0 |
| \sin\frac{\pi}{6} | sí, vale \frac{1}{2} | 0 |
| a^2 + b (letras distintas de x) | sí, si no dependen de x | 0 |
| e^x | no | e^x |
Constantes sumadas frente a constantes que multiplican
Una constante sumada desaparece:
Una constante que multiplica se queda, por la regla del múltiplo constante:
La razón es geométrica. Sumar 10 desplaza la gráfica hacia arriba, lo que no cambia ninguna pendiente. Multiplicar por 10 estira la gráfica, lo que hace que cada pendiente sea 10 veces más pronunciada.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1. \frac{d}{dx}\left(4x^3 - 2x + \pi\right) = 12x^2 - 2.
Ejemplo 2. \frac{d}{dx}\left(e^2 x\right) = e^2. Aquí e^2 multiplica a x, así que se queda, y la derivada de x es 1.
Ejemplo 3. \frac{d}{dx}\left(\ln 3 + \ln x\right) = \frac{1}{x}. El \ln 3 es una constante. Consulta la derivada de ln x.
Ejemplo 4: otras variables. En \frac{d}{dx}(x^2 y^3), si y no depende de x, trata y^3 como una constante que multiplica: el resultado es 2xy^3. Esta idea se convierte en las derivadas parciales en Cálculo 3.
Errores comunes
- Derivar e^2 como si fuera e^x. \frac{d}{dx}e^2 = 0, no e^2 ni 2e.
- Quitar una constante que multiplica. \frac{d}{dx}(3x) = 3, no 0.
- Usar la regla de la potencia con una base constante. \frac{d}{dx}\pi^3 es 0, no 3\pi^2.
En sentido inverso, toda antiderivada lleva un +C porque la derivada de una constante es 0. Consulta la integral de una constante.
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