Ableitung einer Konstanten: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung einer Konstanten ist 0. Mit Begründung über den Differenzenquotienten und kniffligen Fällen wie π², e³, ln 5 und Konstanten als Faktor.
Potenzen, Wurzeln und Polynome Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- 0 für jede Konstante c
- Graph
- Eine waagerechte Gerade, sie hat die Steigung 0
- Addierte Konstante
- \dfrac{d}{dx}\big(f(x) + c\big) = f'(x)
- Konstanter Faktor
- \dfrac{d}{dx}\big(c\,f(x)\big) = c\,f'(x)
- Als Integral
- \int c\,dx = cx + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung einer Konstanten ist 0. Ist f(x) = c für eine feste Zahl c, dann gilt f'(x) = 0 für jedes x.
Graph einer Konstanten und ihrer Ableitung
Beweis mit dem Differenzenquotienten
Für f(x) = c sind f(x + h) und f(x) beide gleich c:
Der Zähler ist für jedes h \ne 0 genau 0, also ist der Grenzwert 0. Das ist die Konstantenregel.
Du siehst es auch mit der Potenzregel: c = c\,x^0, und \frac{d}{dx}\,x^0 = 0 \cdot x^{-1} = 0.
Versteckte Konstanten erkennen
Schwierig ist nicht die Regel, sondern eine Konstante als solche zu erkennen. Alles, was die Variable nicht enthält, ist eine Konstante, egal wie es aussieht.
| Ausdruck | Konstante? | Ableitung nach x |
|---|---|---|
| 7 | ja | 0 |
| \pi^2 | ja | 0 |
| e^3 | ja | 0 |
| \ln 5 | ja | 0 |
| \sin\frac{\pi}{6} | ja, der Wert ist \frac{1}{2} | 0 |
| a^2 + b (andere Buchstaben als x) | ja, wenn sie nicht von x abhängen | 0 |
| e^x | nein | e^x |
Addierte Konstanten und konstante Faktoren
Eine addierte Konstante fällt weg:
Ein konstanter Faktor bleibt nach der Faktorregel stehen:
Der Grund ist geometrisch. Addierst du 10, verschiebst du den Graphen nach oben, und das ändert keine einzige Steigung. Multiplizierst du mit 10, streckst du den Graphen, und jede Steigung wird zehnmal so steil.
Rechenbeispiele
Beispiel 1. \frac{d}{dx}\left(4x^3 - 2x + \pi\right) = 12x^2 - 2.
Beispiel 2. \frac{d}{dx}\left(e^2 x\right) = e^2. Hier ist e^2 ein Faktor vor x, bleibt also stehen, und die Ableitung von x ist 1.
Beispiel 3. \frac{d}{dx}\left(\ln 3 + \ln x\right) = \frac{1}{x}. Der Term \ln 3 ist eine Konstante. Siehe die Ableitung von ln x.
Beispiel 4: andere Variablen. Wenn bei \frac{d}{dx}(x^2 y^3) das y nicht von x abhängt, behandelst du y^3 als konstanten Faktor: Das Ergebnis ist 2xy^3. Aus dieser Idee werden in Analysis 3 die partiellen Ableitungen.
Typische Fehler
- e^2 ableiten, als wäre es e^x. \frac{d}{dx}e^2 = 0, nicht e^2 oder 2e.
- Einen konstanten Faktor weglassen. \frac{d}{dx}(3x) = 3, nicht 0.
- Die Potenzregel auf eine konstante Basis anwenden. \frac{d}{dx}\pi^3 ist 0, nicht 3\pi^2.
Umgekehrt hat jede Stammfunktion ein +C, weil Konstanten beim Ableiten zu 0 werden. Siehe das Integral einer Konstanten.
Jetzt üben
Summen und Konstanten
Löse echte Aufgaben zu diesem Thema mit sofortigem Feedback, Tipps und einem Schritt-für-Schritt-Lösungsweg zu jeder Antwort. Kostenlos, ohne Registrierung.
Diese Lektion üben