Ejercicios de antiderivadas (primitivas) resueltos paso a paso

Estos ejercicios de antiderivadas empiezan con la regla de la potencia y avanzan hasta funciones trigonométricas, exponenciales y problemas de valor inicial. Intenta cada uno antes de leer la solución. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y después vienen las soluciones completas.

La regla que más vas a usar:

Suma uno al exponente, divide entre el nuevo exponente y añade +C. La única excepción es n = -1, donde \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. Para repasar, lee la página de la regla de la potencia inversa.

Ejercicios

Regla de la potencia

1. \displaystyle\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx
2. \displaystyle\int 3\sqrt{x}\,dx
3. \displaystyle\int \frac{1}{x^3}\,dx
4. \displaystyle\int \frac{5}{x}\,dx

Trigonométricas y exponenciales

5. \displaystyle\int (2e^x + \cos x)\,dx
6. \displaystyle\int (\sec^2 x - 3\sin x)\,dx
7. \displaystyle\int \frac{4}{1 + x^2}\,dx

Simplifica primero

8. \displaystyle\int (x^2 + 1)^2\,dx
9. \displaystyle\int \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x}}\,dx

Problemas de valor inicial

10. Halla f(x) si f'(x) = 6x^2 - 4 y f(1) = 5.
11. Halla f(x) si f''(x) = 12x, f'(0) = 3 y f(0) = -1.
12. Una partícula tiene velocidad v(t) = 3t^2 - 2t y posición s(0) = 4. Halla s(2).

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Integra término a término. 4x^3 se convierte en x^4, -6x en -3x^2 y 2 en 2x:

2. Escribe \sqrt{x} = x^{1/2}. El nuevo exponente es \frac{3}{2}, así que divide entre \frac{3}{2}:

3. Escribe \frac{1}{x^3} = x^{-3}. El nuevo exponente es -2:

4. Este es el caso n = -1, así que la regla de la potencia no se aplica. Usa la regla del logaritmo (consulta la integral de 1/x):

5. La derivada de e^x es e^x y la derivada de \sin x es \cos x, así que:

6. La derivada de \tan x es \sec^2 x. La antiderivada de \sin x es -\cos x, así que -3\sin x da +3\cos x:

7. La derivada de \arctan x es \frac{1}{1+x^2}:

8. Desarrolla primero: (x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1. Después integra cada término:

9. Separa la fracción: \frac{x^2}{x^{1/2}} + \frac{3}{x^{1/2}} = x^{3/2} + 3x^{-1/2}. Entonces:

10. La antiderivada general es f(x) = 2x^3 - 4x + C. Usa f(1) = 5: 2 - 4 + C = 5, así que C = 7:

11. Integra dos veces, usando una condición cada vez. Primero f'(x) = 6x^2 + C_1, y f'(0) = 3 da C_1 = 3. Después f(x) = 2x^3 + 3x + C_2, y f(0) = -1 da C_2 = -1:

12. La posición es una antiderivada de la velocidad: s(t) = t^3 - t^2 + C. Como s(0) = 4, C = 4. Entonces:

Errores comunes en estos ejercicios

• Olvidar el +C. Una integral indefinida es toda una familia de funciones. Omitir el +C resta puntos en la mayoría de los exámenes.
• Usar la regla de la potencia con \frac{1}{x}. Daría \frac{x^0}{0}, que no está definido. La respuesta es \ln|x| + C.
• Errores de signo con seno y coseno. La antiderivada de \sin x es -\cos x, no \cos x. Deriva tu respuesta para comprobarlo.
• Integrar un producto factor por factor. En el ejercicio 8, \int (x^2+1)^2\,dx no es \frac{(x^2+1)^3}{3}. Desarrolla primero, o comprueba derivando.
• Despejar C demasiado tarde. En el ejercicio 11, halla C_1 antes de volver a integrar, o acabarás con un término desconocido C_1 x.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante, prueba la lección de la regla de la potencia inversa y la lección de integrales trigonométricas y exponenciales. Cuando las antiderivadas te resulten fáciles, pasa a los ejercicios de integrales definidas y a los ejercicios de sustitución. Para entender las ideas de fondo, lee la guía de antiderivadas.