Primitives : exercices corrigés avec réponses et solutions

Ces exercices sur les primitives commencent par la règle de la puissance et vont jusqu'aux fonctions trigonométriques, exponentielles et aux problèmes avec condition initiale. Cherchez chaque exercice avant de lire la solution. Les réponses sont données d'abord pour vérifier rapidement, puis viennent les solutions détaillées.

La règle que vous utiliserez le plus :

Ajoutez un à l'exposant, divisez par le nouvel exposant et ajoutez +C. La seule exception est n = -1, où \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. Pour un rappel, lisez la page sur la règle de la puissance inverse.

Exercices

Règle de la puissance

1. \displaystyle\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx
2. \displaystyle\int 3\sqrt{x}\,dx
3. \displaystyle\int \frac{1}{x^3}\,dx
4. \displaystyle\int \frac{5}{x}\,dx

Trigonométrie et exponentielle

5. \displaystyle\int (2e^x + \cos x)\,dx
6. \displaystyle\int (\sec^2 x - 3\sin x)\,dx
7. \displaystyle\int \frac{4}{1 + x^2}\,dx

Simplifier d'abord

8. \displaystyle\int (x^2 + 1)^2\,dx
9. \displaystyle\int \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x}}\,dx

Problèmes avec condition initiale

10. Trouvez f(x) sachant que f'(x) = 6x^2 - 4 et f(1) = 5.
11. Trouvez f(x) sachant que f''(x) = 12x, f'(0) = 3 et f(0) = -1.
12. Une particule a pour vitesse v(t) = 3t^2 - 2t et pour position s(0) = 4. Calculez s(2).

Réponses

Solutions détaillées

1. Intégrez terme à terme. 4x^3 devient x^4, -6x devient -3x^2 et 2 devient 2x :

2. Écrivez \sqrt{x} = x^{1/2}. Le nouvel exposant est \frac{3}{2}, donc divisez par \frac{3}{2} :

3. Écrivez \frac{1}{x^3} = x^{-3}. Le nouvel exposant est -2 :

4. C'est le cas n = -1, donc la règle de la puissance ne s'applique pas. Utilisez la règle du logarithme (voir l'intégrale de 1/x) :

5. La dérivée de e^x est e^x et la dérivée de \sin x est \cos x, donc :

6. La dérivée de \tan x est \sec^2 x. Une primitive de \sin x est -\cos x, donc -3\sin x donne +3\cos x :

7. La dérivée de \arctan x est \frac{1}{1+x^2} :

8. Développez d'abord : (x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1. Puis intégrez chaque terme :

9. Séparez la fraction : \frac{x^2}{x^{1/2}} + \frac{3}{x^{1/2}} = x^{3/2} + 3x^{-1/2}. Alors :

10. La primitive générale est f(x) = 2x^3 - 4x + C. Avec f(1) = 5 : 2 - 4 + C = 5, donc C = 7 :

11. Intégrez deux fois, en utilisant une condition à chaque fois. D'abord f'(x) = 6x^2 + C_1, et f'(0) = 3 donne C_1 = 3. Puis f(x) = 2x^3 + 3x + C_2, et f(0) = -1 donne C_2 = -1 :

12. La position est une primitive de la vitesse : s(t) = t^3 - t^2 + C. Comme s(0) = 4, C = 4. Alors :

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Oublier +C. Une intégrale indéfinie représente toute une famille de fonctions. Oublier +C coûte des points dans la plupart des contrôles.
• Appliquer la règle de la puissance à \frac{1}{x}. On obtiendrait \frac{x^0}{0}, qui n'est pas défini. La réponse est \ln|x| + C.
• Erreurs de signe avec sinus et cosinus. Une primitive de \sin x est -\cos x, pas \cos x. Dérivez votre résultat pour vérifier.
• Intégrer un produit facteur par facteur. Dans l'exercice 8, \int (x^2+1)^2\,dx n'est pas \frac{(x^2+1)^3}{3}. Développez d'abord, ou vérifiez en dérivant.
• Déterminer C trop tard. Dans l'exercice 11, trouvez C_1 avant d'intégrer à nouveau, sinon il vous restera un terme inconnu C_1 x.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles valeurs et une correction immédiate, essayez la leçon sur la règle de la puissance inverse et la leçon sur les intégrales trigonométriques et exponentielles. Quand les primitives vous semblent faciles, passez aux exercices sur les intégrales définies et aux exercices sur le changement de variable. Pour comprendre les idées, lisez le guide des primitives.