Aufgaben zu Stammfunktionen mit Lösungen und Lösungsweg

Diese Aufgaben zu Stammfunktionen beginnen mit der Potenzregel und führen weiter zu trigonometrischen Funktionen, e-Funktionen und Anfangswertproblemen. Versuch jede Aufgabe selbst, bevor du die Lösung liest. Zuerst kommen die Ergebnisse, damit du schnell vergleichen kannst, danach die ausführlichen Lösungswege.

Die Regel, die du am häufigsten brauchst:

Erhöhe den Exponenten um eins, teile durch den neuen Exponenten und addiere +C. Die einzige Ausnahme ist n = -1, dort gilt \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. Zur Wiederholung lies die Seite zur Potenzregel für Integrale.

Aufgaben

Potenzregel

1. \displaystyle\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx
2. \displaystyle\int 3\sqrt{x}\,dx
3. \displaystyle\int \frac{1}{x^3}\,dx
4. \displaystyle\int \frac{5}{x}\,dx

Trigonometrische Funktionen und e-Funktion

5. \displaystyle\int (2e^x + \cos x)\,dx
6. \displaystyle\int (\sec^2 x - 3\sin x)\,dx
7. \displaystyle\int \frac{4}{1 + x^2}\,dx

Zuerst vereinfachen

8. \displaystyle\int (x^2 + 1)^2\,dx
9. \displaystyle\int \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x}}\,dx

Anfangswertprobleme

10. Bestimme f(x), wenn f'(x) = 6x^2 - 4 und f(1) = 5 gilt.
11. Bestimme f(x), wenn f''(x) = 12x, f'(0) = 3 und f(0) = -1 gilt.
12. Ein Teilchen hat die Geschwindigkeit v(t) = 3t^2 - 2t und die Position s(0) = 4. Bestimme s(2).

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Integriere Summand für Summand. Aus 4x^3 wird x^4, aus -6x wird -3x^2 und aus 2 wird 2x:

2. Schreibe \sqrt{x} = x^{1/2}. Der neue Exponent ist \frac{3}{2}, also teilst du durch \frac{3}{2}:

3. Schreibe \frac{1}{x^3} = x^{-3}. Der neue Exponent ist -2:

4. Das ist der Fall n = -1, die Potenzregel gilt hier also nicht. Nutze die Logarithmusregel (siehe Integral von 1/x):

5. Die Ableitung von e^x ist e^x und die Ableitung von \sin x ist \cos x, also:

6. Die Ableitung von \tan x ist \sec^2 x. Eine Stammfunktion von \sin x ist -\cos x, also ergibt -3\sin x den Summanden +3\cos x:

7. Die Ableitung von \arctan x ist \frac{1}{1+x^2}:

8. Multipliziere zuerst aus: (x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1. Integriere dann jeden Summanden:

9. Teile den Bruch auf: \frac{x^2}{x^{1/2}} + \frac{3}{x^{1/2}} = x^{3/2} + 3x^{-1/2}. Dann gilt:

10. Die allgemeine Stammfunktion ist f(x) = 2x^3 - 4x + C. Mit f(1) = 5 folgt 2 - 4 + C = 5, also C = 7:

11. Integriere zweimal und nutze jedes Mal eine Bedingung. Zuerst ist f'(x) = 6x^2 + C_1, und f'(0) = 3 liefert C_1 = 3. Dann ist f(x) = 2x^3 + 3x + C_2, und f(0) = -1 liefert C_2 = -1:

12. Die Position ist eine Stammfunktion der Geschwindigkeit: s(t) = t^3 - t^2 + C. Wegen s(0) = 4 ist C = 4. Damit gilt:

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• +C vergessen. Ein unbestimmtes Integral ist eine ganze Schar von Funktionen. Ohne +C gibt es in den meisten Klausuren Punktabzug.
• Die Potenzregel auf \frac{1}{x} anwenden. Das ergäbe \frac{x^0}{0}, und das ist nicht definiert. Das Ergebnis ist \ln|x| + C.
• Vorzeichenfehler bei Sinus und Kosinus. Eine Stammfunktion von \sin x ist -\cos x, nicht \cos x. Leite dein Ergebnis zur Probe ab.
• Ein Produkt faktorweise integrieren. In Aufgabe 8 ist \int (x^2+1)^2\,dx nicht \frac{(x^2+1)^3}{3}. Multipliziere zuerst aus oder mach die Probe durch Ableiten.
• C zu spät bestimmen. Bestimme in Aufgabe 11 C_1, bevor du noch einmal integrierst, sonst bleibt ein unbekannter Summand C_1 x übrig.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenzte Übung mit immer neuen Zahlen und sofortigem Feedback probier die Lektion zur Potenzregel für Integrale und die Lektion zu trigonometrischen und Exponentialintegralen. Wenn dir Stammfunktionen leichtfallen, mach weiter mit den Aufgaben zu bestimmten Integralen und den Aufgaben zur Substitutionsregel. Die Ideen dahinter erklärt der Leitfaden zu Stammfunktionen.