Ejercicios de integración por partes resueltos con respuestas

Estos ejercicios de integración por partes empiezan con una sola aplicación de partes y avanzan hasta partes repetidas, el método tabular e integrales que vuelven a sí mismas. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y después vienen las soluciones completas.

La fórmula sale de la regla del producto:

Elige u y dv, halla du y v, y completa la fórmula. Para saber más sobre la fórmula, lee la regla de integración por partes.

Ejercicios

Una aplicación de partes

1. \displaystyle\int x\,e^x\,dx
2. \displaystyle\int x\cos x\,dx
3. \displaystyle\int \ln x\,dx
4. \displaystyle\int x\ln x\,dx
5. \displaystyle\int x\sin(2x)\,dx
6. \displaystyle\int \arctan x\,dx

Partes repetidas

7. \displaystyle\int x^2 e^x\,dx
8. \displaystyle\int x^2\cos x\,dx

Integrales que vuelven a sí mismas

9. \displaystyle\int e^x\sin x\,dx
10. \displaystyle\int e^{2x}\cos x\,dx

Integrales definidas

11. \displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx
12. \displaystyle\int_1^{e} x\ln x\,dx

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Sea u = x y dv = e^x\,dx, así que du = dx y v = e^x:

2. Sea u = x y dv = \cos x\,dx, así que v = \sin x:

3. Sea u = \ln x y dv = dx, así que du = \frac{1}{x}dx y v = x:

4. Los logaritmos van primero en LIATE, así que u = \ln x y dv = x\,dx, lo que da v = \frac{x^2}{2}:

5. Sea u = x y dv = \sin(2x)\,dx, así que v = -\frac{1}{2}\cos(2x):

6. Sea u = \arctan x y dv = dx, así que du = \frac{1}{1+x^2}dx y v = x:

La última integral es una sustitución con u = 1 + x^2, que da \frac{1}{2}\ln(1 + x^2).

7. Usa el método tabular. Derivadas de x^2: x^2, 2x, 2, 0. Integrales de e^x: e^x, e^x, e^x. Multiplica en diagonal con signos +, -, +:

8. De nuevo el método tabular. Derivadas: x^2, 2x, 2, 0. Integrales de \cos x: \sin x, -\cos x, -\sin x. Con signos +, -, +:

9. Llama I a la integral. Con u = \sin x y dv = e^x\,dx: I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx. Aplica partes otra vez con u = \cos x: \int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I. Así:

10. Sea I = \int e^{2x}\cos x\,dx. Toma u = e^{2x} las dos veces. Primero, I = e^{2x}\sin x - 2\int e^{2x}\sin x\,dx. Segundo, \int e^{2x}\sin x\,dx = -e^{2x}\cos x + 2I. Júntalo todo:

11. A partir del ejercicio 1:

12. A partir del ejercicio 4, usando \ln e = 1 y \ln 1 = 0:

Errores comunes en estos ejercicios

• Elegir u al revés. En el ejercicio 4, tomar u = x y dv = \ln x\,dx significa que ya debes conocer \int\ln x\,dx. Sigue LIATE.
• Errores de signo en la segunda vuelta. En los ejercicios 7 y 8, el signo menos delante de \int v\,du afecta a todo lo que sigue. El método tabular mantiene los signos en orden.
• Cambiar el tipo de u y dv a mitad del ciclo. En el ejercicio 10, si tomas u = e^{2x} primero y u = \sin x después, deshaces el primer paso y obtienes I = I.
• Olvidar el \frac{1}{2} en v. Cuando dv = \sin(2x)\,dx, v = -\frac{1}{2}\cos(2x), no -\cos(2x).

Sigue practicando

Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante, prueba la lección de integración por partes y la lección de partes repetidas y LIATE. Para más ejemplos, consulta la integral de x e^x, la integral de ln x y la guía de integración por partes. Después prueba los ejercicios de integrales trigonométricas.