Aufgaben zur partiellen Integration mit Lösungen

Diese Aufgaben zur partiellen Integration beginnen mit einer Runde partieller Integration und steigern sich zu mehrfacher partieller Integration, dem Tabellenverfahren und Integralen, die wieder bei sich selbst ankommen. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Lösungen, damit du schnell vergleichen kannst, danach die vollständigen Lösungswege.

Die Formel folgt aus der Produktregel:

Wähle u und dv, bestimme du und v und setze in die Formel ein. Mehr zur Formel findest du bei der Regel zur partiellen Integration.

Aufgaben

Eine Runde partielle Integration

1. \displaystyle\int x\,e^x\,dx
2. \displaystyle\int x\cos x\,dx
3. \displaystyle\int \ln x\,dx
4. \displaystyle\int x\ln x\,dx
5. \displaystyle\int x\sin(2x)\,dx
6. \displaystyle\int \arctan x\,dx

Mehrfache partielle Integration

7. \displaystyle\int x^2 e^x\,dx
8. \displaystyle\int x^2\cos x\,dx

Integrale, die wiederkehren

9. \displaystyle\int e^x\sin x\,dx
10. \displaystyle\int e^{2x}\cos x\,dx

Bestimmte Integrale

11. \displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx
12. \displaystyle\int_1^{e} x\ln x\,dx

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Setze u = x und dv = e^x\,dx, also du = dx und v = e^x:

2. Setze u = x und dv = \cos x\,dx, also v = \sin x:

3. Setze u = \ln x und dv = dx, also du = \frac{1}{x}dx und v = x:

4. Logarithmen stehen bei LIATE an erster Stelle, also u = \ln x und dv = x\,dx, was v = \frac{x^2}{2} ergibt:

5. Setze u = x und dv = \sin(2x)\,dx, also v = -\frac{1}{2}\cos(2x):

6. Setze u = \arctan x und dv = dx, also du = \frac{1}{1+x^2}dx und v = x:

Das letzte Integral löst du mit der Substitution u = 1 + x^2, es ergibt \frac{1}{2}\ln(1 + x^2).

7. Verwende das Tabellenverfahren. Ableitungen von x^2: x^2, 2x, 2, 0. Stammfunktionen von e^x: e^x, e^x, e^x. Multipliziere diagonal mit den Vorzeichen +, -, +:

8. Wieder das Tabellenverfahren. Ableitungen: x^2, 2x, 2, 0. Stammfunktionen von \cos x: \sin x, -\cos x, -\sin x. Mit den Vorzeichen +, -, +:

9. Nenne das Integral I. Mit u = \sin x und dv = e^x\,dx gilt I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx. Integriere noch einmal partiell mit u = \cos x: \int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I. Also:

10. Sei I = \int e^{2x}\cos x\,dx. Nimm beide Male u = e^{2x}. Erstens: I = e^{2x}\sin x - 2\int e^{2x}\sin x\,dx. Zweitens: \int e^{2x}\sin x\,dx = -e^{2x}\cos x + 2I. Zusammengesetzt:

11. Aus Aufgabe 1:

12. Aus Aufgabe 4, mit \ln e = 1 und \ln 1 = 0:

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• u falsch herum wählen. Nimmst du in Aufgabe 4 u = x und dv = \ln x\,dx, musst du \int\ln x\,dx schon kennen. Halte dich an LIATE.
• Vorzeichenfehler in der zweiten Runde. In den Aufgaben 7 und 8 gilt das Minuszeichen vor \int v\,du für alles, was danach kommt. Das Tabellenverfahren hält die Vorzeichen in Ordnung.
• Die Rollen von u und dv mittendrin tauschen. Nimmst du in Aufgabe 10 zuerst u = e^{2x} und dann u = \sin x, machst du den ersten Schritt rückgängig und erhältst I = I.
• Das \frac{1}{2} in v vergessen. Bei dv = \sin(2x)\,dx ist v = -\frac{1}{2}\cos(2x), nicht -\cos(2x).

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Aufgaben mit neuen Zahlen und sofortigem Feedback probiere die Lektion zur partiellen Integration und die Lektion zu mehrfacher partieller Integration und LIATE. Weitere Beispiele findest du beim Integral von x e^x, beim Integral von ln x und im Leitfaden zur partiellen Integration. Danach geht es weiter mit den Aufgaben zu trigonometrischen Integralen.