Arkussinus arcsin(x): Graph, Definitionsbereich, Ableitung, Integral

Die Arkussinusfunktion macht die Sinusfunktion rückgängig: \arcsin x ist der Winkel, dessen Sinus x ist. Weil sich der Sinus periodisch wiederholt, ist er nicht injektiv, deshalb wählt der Arkussinus die eine Lösung in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. In der Analysis ist er vor allem als Stammfunktion von \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} wichtig.

Definition von arcsin x

Also ist \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}, denn \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} und \frac{\pi}{6} liegt im erlaubten Bereich. Die Schreibweise \sin^{-1}x bedeutet dasselbe.

Graph von y = arcsin x

Der Graph ist das Stück von y = \sin x auf \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], gespiegelt an der Geraden y = x.

Wichtige Werte des Arkussinus

Eigenschaften des Arkussinus

• Definitionsbereich [-1, 1], Wertebereich \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. Eingaben außerhalb von [-1, 1] sind nicht definiert, da kein Winkel den Sinus 2 hat.
• Steigend. Der Arkussinus ist auf seinem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.
• Ungerade. \arcsin(-x) = -\arcsin x.
• Aufheben. \sin(\arcsin x) = x für jedes x in [-1, 1], aber \arcsin(\sin x) = x nur für x in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].
• Beziehung zum Arkuskosinus. \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}. Siehe Arkuskosinus.

Ableitung von arcsin x

Warum. Sei y = \arcsin x, also \sin y = x. Implizites Differenzieren ergibt \cos y \cdot y' = 1, also y' = \frac{1}{\cos y}. Da y in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] liegt, gilt \cos y \ge 0 und \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}. Das ist ein Spezialfall der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen.

Bei x = \pm 1 ist der Nenner null, deshalb hat der Graph an seinen Randpunkten senkrechte Tangenten.

Integrale mit dem Arkussinus

Die Ableitungsformel rückwärts gelesen ist das Integral, das du am häufigsten brauchst:

Das Integral des Arkussinus selbst erhältst du durch partielle Integration mit u = \arcsin x, dv = dx:

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Kettenregel. Leite f(x) = \arcsin(3x) ab:

Beispiel 2: ein bestimmtes Integral. \int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}.

Beispiel 3: mit a. \int\frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C.

Beispiel 4: Verkettung. Vereinfache \cos(\arcsin x). Ist \theta = \arcsin x, dann gilt \sin\theta = x und \cos\theta \ge 0, also \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}.

Häufige Fehler

1. \sin^{-1}x als \frac{1}{\sin x} lesen. Der Kehrwert ist \csc x, behandelt bei den reziproken trigonometrischen Funktionen.
2. Einen Winkel außerhalb des Wertebereichs angeben. \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}, nicht \frac{7\pi}{6} oder \frac{11\pi}{6}.
3. Werte mit |x| > 1 einsetzen. \arcsin 2 existiert nicht als reelle Zahl.
4. Den Faktor aus der Kettenregel vergessen. \frac{d}{dx}\arcsin(x^2) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}, nicht \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}.

Zusammenhänge mit anderen Themen

Der Arkussinus ist die Grundlage der Substitution x = a\sin\theta bei der trigonometrischen Substitution, die man für Integrale mit \sqrt{a^2 - x^2} verwendet. Seine Geschwister sind der Arkuskosinus und der Arkustangens, und alle drei Ableitungen werden im Leitfaden zum impliziten Differenzieren auf die gleiche Weise hergeleitet.