Arcoseno arcsin(x): gráfica, dominio, rango, derivada e integral

La función arcoseno deshace la función seno: \arcsin x es el ángulo cuyo seno es x. Como el seno se repite, no es inyectivo, así que el arcoseno elige la única respuesta en \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. En cálculo importa sobre todo como antiderivada de \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Definición de arcsin x

Así, \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}, porque \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} y \frac{\pi}{6} está en el rango permitido. La notación \sin^{-1}x significa lo mismo.

Gráfica de y = arcsin x

La gráfica es el tramo de y = \sin x en \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] reflejado respecto a la recta y = x.

Valores clave del arcoseno

Propiedades del arcoseno

• Dominio [-1, 1], rango \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. Los valores fuera de [-1, 1] no están definidos, ya que ningún ángulo tiene seno 2.
• Creciente. El arcoseno es estrictamente creciente en todo su dominio.
• Impar. \arcsin(-x) = -\arcsin x.
• Cancelación. \sin(\arcsin x) = x para todo x en [-1, 1], pero \arcsin(\sin x) = x solo para x en \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].
• Relación con el arcocoseno. \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}. Consulta arcocoseno.

Derivada de arcsin x

Por qué. Sea y = \arcsin x, de modo que \sin y = x. La derivación implícita da \cos y \cdot y' = 1, así que y' = \frac{1}{\cos y}. Como y está en \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \cos y \ge 0, y \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}. Es un caso particular de la regla de la función inversa.

En x = \pm 1 el denominador se anula, por eso la gráfica tiene tangentes verticales en sus extremos.

Integrales con arcoseno

La fórmula de la derivada, leída al revés, es la integral que más usarás:

La integral del propio arcoseno se obtiene con integración por partes tomando u = \arcsin x, dv = dx:

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: regla de la cadena. Deriva f(x) = \arcsin(3x):

Ejemplo 2: una integral definida. \int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}.

Ejemplo 3: usando a. \int\frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C.

Ejemplo 4: composición. Simplifica \cos(\arcsin x). Si \theta = \arcsin x, entonces \sin\theta = x y \cos\theta \ge 0, así que \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}.

Errores comunes

1. Leer \sin^{-1}x como \frac{1}{\sin x}. El recíproco es \csc x, que se explica en las funciones trigonométricas recíprocas.
2. Dar un ángulo fuera del rango. \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}, no \frac{7\pi}{6} ni \frac{11\pi}{6}.
3. Sustituir valores con |x| > 1. \arcsin 2 no existe como número real.
4. Olvidar el factor de la regla de la cadena. \frac{d}{dx}\arcsin(x^2) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}, no \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}.

Cómo se relaciona el arcoseno con otros temas

El arcoseno es la base de la sustitución x = a\sin\theta en la sustitución trigonométrica, que se usa en integrales con \sqrt{a^2 - x^2}. Sus funciones hermanas son el arcocoseno y la arcotangente, y las tres derivadas se obtienen del mismo modo en la guía de derivación implícita.