Função quadrática: gráfico, vértice, derivada e integral
A função quadrática f(x) = ax² + bx + c: gráfico da parábola, fórmula do vértice, raízes, derivada 2ax + b, integral e exemplos resolvidos.
Funções algébricas Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Domínio
- (-\infty, \infty)
- Imagem
- \left[f\left(-\frac{b}{2a}\right), \infty\right) se a > 0
- Derivada
- 2ax + b
- Integral
- \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C
- Vértice
- x = -\frac{b}{2a}
- Raízes
- x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
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Uma função quadrática (ou função do segundo grau) é um polinômio de grau dois. Seu gráfico é uma parábola, uma curva simétrica em forma de U com um único ponto de virada, chamado vértice. Funções quadráticas modelam a altura de um projétil, áreas e lucros, e são as primeiras curvas em que a derivada revela algo que não se vê em uma reta.
Fórmula e formas
| Forma | Equação | Mostra |
|---|---|---|
| Geral | ax^2 + bx + c | intersecção com o eixo y em c |
| Canônica | a(x - h)^2 + k | vértice (h, k) |
| Fatorada | a(x - r_1)(x - r_2) | raízes r_1, r_2 |
Gráfico de uma função quadrática
Características principais:
- Concavidade. Para cima se a > 0 (o vértice é um mínimo), para baixo se a < 0 (o vértice é um máximo).
- Eixo de simetria. A reta vertical x = -\frac{b}{2a}.
- Raízes. Pela fórmula de Bhaskara, x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. O discriminante b^2 - 4ac indica se há duas, uma ou nenhuma raiz real.
- Imagem. \left[k, \infty\right) se a > 0 e \left(-\infty, k\right] se a < 0, em que k é a altura do vértice.
Derivada de uma função quadrática
Pela regra da potência e pela regra da soma:
A derivada de uma função quadrática é uma função afim. Ela se anula em exatamente um ponto, x = -\frac{b}{2a}, que é o vértice. A segunda derivada é a constante 2a, então a parábola tem concavidade para cima em todos os pontos quando a > 0 e concavidade para baixo em todos os pontos quando a < 0. É por isso que o vértice é sempre o extremo absoluto.
Integral de uma função quadrática
O c minúsculo é o termo independente da função quadrática; o C maiúsculo é a constante de integração.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: vértice com cálculo. Para f(x) = x^2 - 2x - 3, f'(x) = 2x - 2 = 0 dá x = 1, e f(1) = -4. O vértice é (1, -4), um mínimo porque a = 1 > 0.
Exemplo 2: altura máxima. A altura de uma bola é h(t) = -5t^2 + 20t + 1 metros. Então h'(t) = -10t + 20 = 0 em t = 2, e a altura máxima é h(2) = -20 + 40 + 1 = 21 metros.
Exemplo 3: área sob uma parábola. Calcule \int_0^3 (x^2 + 1)\,dx:
Exemplo 4: reta tangente. Para f(x) = x^2 - 2x - 3 em x = 3: f(3) = 0 e f'(3) = 4, então a reta tangente é y = 4(x - 3) = 4x - 12.
Erros comuns
- Esquecer o sinal de menos em -\frac{b}{2a}. Para x^2 - 2x - 3, b = -2, então o vértice está em x = -\frac{-2}{2} = 1.
- Derivar ax^2 como ax. O expoente desce multiplicando: \frac{d}{dx}3x^2 = 6x.
- Integrar x^2 como \frac{x^3}{2}. Divida pelo novo expoente, 3.
- Expandir (x - 2)^2 como x^2 + 4. A expansão correta é x^2 - 4x + 4.
Como se conecta
As funções quadráticas são as funções polinomiais mais simples com curvatura, por isso são os primeiros exemplos clássicos em problemas de otimização, esboço de gráficos e área entre curvas. O polinômio de Taylor de segundo grau de qualquer função suave é uma função quadrática, e é por isso que parábolas aproximam tantas curvas perto de um ponto.
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