Função Constante f(x) = c: Gráfico, Derivada, Integral e Propriedades

Uma função constante devolve o mesmo número, não importa o que você coloque na entrada. Escrita como f(x) = c, onde c é um número real fixo, ela é a função mais simples do cálculo e o ponto de partida de todas as regras de derivação e integração.

Definição e fórmula

Aqui c pode ser qualquer número real: f(x) = 3, g(x) = -\tfrac{1}{2}, h(x) = \pi. A entrada x não aparece no lado direito, então mudar x nunca muda a saída. Exemplos que aparecem na prática incluem uma taxa fixa, a aceleração de um movimento com velocidade constante (zero) ou o valor f(a) depois que a é fixado.

Gráfico de uma função constante

O gráfico de y = c é uma reta horizontal que corta o eixo y em (0, c). Todos os seus pontos têm a mesma altura.

Derivada de uma constante

A derivada de uma constante é zero:

Pela definição de derivada por limite:

Geometricamente, uma reta horizontal tem inclinação 0, então toda reta tangente é a própria reta. Esse fato é a regra da constante, e explica por que o termo constante de um polinômio desaparece quando você deriva.

Integral de uma constante

No sentido inverso, uma função cuja derivada é c é cx, então

Numa integral definida, a área sob y = c de a até b é um retângulo de altura c e largura b - a:

Se c for negativo, o retângulo fica abaixo do eixo e a área com sinal é negativa.

Propriedades principais

• Contínua e derivável em todo ponto. Não há saltos, buracos nem bicos.
• Os limites são imediatos. \lim_{x \to a} c = c para todo a, e também \lim_{x \to \pm\infty} c = c.
• Função par. f(-x) = f(x), então o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
• Nem crescente nem decrescente. Ela é ao mesmo tempo não crescente e não decrescente.
• Todo ponto é máximo e mínimo. Como a saída nunca muda, todo x dá ao mesmo tempo o maior e o menor valor.
• Polinômio de grau zero. Uma constante não nula é cx^0, o primeiro degrau das funções polinomiais.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. Derive f(x) = 7. A derivada é f'(x) = 0.

Exemplo 2. Derive g(x) = 4x^2 + 9. Pela regra da soma, g'(x) = 8x + 0 = 8x. O 9 não contribui com nada.

Exemplo 3. Derive y = \pi^2. Embora pareça complicado, \pi^2 \approx 9.87 é apenas um número, então y' = 0.

Exemplo 4. Calcule \int_1^4 5\,dx. A primitiva é 5x, então o valor é 5(4) - 5(1) = 15, a área de um retângulo 5 \times 3.

Erros comuns

1. Tratar constantes que parecem expressões como variáveis. e^2, \ln 3 e \sin\frac{\pi}{6} são números, então suas derivadas são 0. É comum o aluno escrever \frac{d}{dx}e^2 = e^2 por engano.
2. Esquecer o x ao integrar. \int 5\,dx = 5x + C, e não 5 + C.
3. Confundir c com C. A constante de integração C é nova e arbitrária. Ela não é o mesmo número que o c em f(x) = c.
4. Descartar um fator constante. A derivada de um termo constante é 0, mas um fator constante permanece: \frac{d}{dx}(5x) = 5, e não 0. Veja a regra da constante multiplicativa.

Como se conecta

Uma função constante é uma função afim com inclinação 0 e o caso particular n = 0 das funções potência. Nas aplicações, uma derivada igual a zero num intervalo indica que a função original é constante ali, uma consequência do Teorema do Valor Médio. É também por isso que toda primitiva carrega um +\,C: duas funções com a mesma derivada diferem por uma constante. Para saber mais, leia o guia sobre antiderivadas.