Integral de arctan x: fórmula, pasos y ejemplos

La integral de \arctan x es x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C. No hay ninguna regla básica que deshaga directamente la arcotangente, así que el camino habitual es la integración por partes con un factor 1 "escondido".

Gráfica de arctan x y su antiderivada

Cómo integrar arctan x paso a paso

El truco es escribir \arctan x como \arctan x \cdot 1 y usar la integración por partes, \int u\,dv = uv - \int v\,du.

1. Elige las partes. u = \arctan x y dv = dx. Entonces du = \frac{1}{1+x^2}\,dx y v = x.
2. Aplica la fórmula. \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx
3. Resuelve la integral que queda con w = 1 + x^2, dw = 2x\,dx: \int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{dw}{w} = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C
4. Junta todo. \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C

¿Por qué elegir u = \arctan x? Su derivada \frac{1}{1+x^2} es algebraica y mucho más fácil de manejar. En el orden LIATE, las funciones trigonométricas inversas están entre las primeras, así que son buenas candidatas para u.

Comprobación derivando

Las dos fracciones se cancelan exactamente y queda \arctan x.

Integrales definidas

De 0 a 1:

De −1 a 1: \arctan x es una función impar, así que \int_{-1}^{1}\arctan x\,dx = 0. El área sobre el eje a la derecha cancela el área bajo el eje a la izquierda.

De 0 a √3: \sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\ln 4 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \ln 2 \approx 1.121.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: un argumento escalado. \int \arctan(2x)\,dx. Sea u = 2x, así que dx = \frac{du}{2}:

Comprobación: la derivada es \arctan 2x + \frac{2x}{1+4x^2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{8x}{1+4x^2} = \arctan 2x.

Ejemplo 2: x por arctan x. Toma u = \arctan x y dv = x\,dx, así que v = \frac{x^2}{2}:

Escribe \frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}, cuya integral es x - \arctan x. Por tanto

Ejemplo 3: arcotangente de la raíz. Para \int\arctan\sqrt{x}\,dx, haz primero x = t^2 y luego aplica partes. El resultado es (x+1)\arctan\sqrt{x} - \sqrt{x} + C, que puedes confirmar derivando.

Errores comunes

1. Responder \frac{1}{1+x^2}. Esa es la derivada de \arctan x, no su integral. Consulta la derivada de arctan x.
2. Confundir arctan con el inverso de tan. \tan^{-1}x es la función inversa. \frac{1}{\tan x} = \cot x es otra función; consulta la integral de cot x.
3. Perder el factor \frac{1}{2}. En \int\frac{x}{1+x^2}\,dx, el cambio de variable da \frac{1}{2}\ln(1+x^2), no \ln(1+x^2).
4. Intercambiar los papeles. Elegir u = 1 y dv = \arctan x\,dx exige la integral que intentas calcular. Deriva siempre la función trigonométrica inversa.

Para obtener arctan como resultado en lugar de integrarla, consulta la integral de 1/(1+x²). El mismo truco por partes aparece en la página de la integral de ln x, y la guía de integración por partes tiene más práctica.