Integral von x ln x: Formel, Rechenweg und Beispiele
Das Integral von x ln x ist (x²/2) ln x − x²/4 + C. Die partielle Integration mit u = ln x, die Probe, ein Graph und die Formel für xⁿ ln x.
Produkte und partielle Integration Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Stammfunktion
- \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C
- Methode
- Partielle Integration mit u = \ln x, dv = x\,dx
- Von 1 bis e
- \frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097
- Von 0 bis 1
- -\frac{1}{4}
- Allgemeine Potenz
- \int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C, n \ne -1
Auf dieser Seite
Das Integral von x\ln x ist \dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C. Es ist ein Produkt aus einer Potenz und einem Logarithmus, also ist partielle Integration das Werkzeug, mit dem Logarithmus als u.
Graph von x ln x mit der Fläche von 1 bis e
x ln x Schritt für Schritt integrieren
Verwende partielle Integration: \int u\,dv = uv - \int v\,du.
- Die Teile wählen. u = \ln x und dv = x\,dx. Logarithmen stehen in LIATE ganz vorne.
- du und v bestimmen. du = \frac{1}{x}\,dx und v = \frac{x^2}{2}.
- Die Formel anwenden. \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx
- Abschließen. \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^2}{4}, also \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C
Der entscheidende Moment ist Schritt 3: Das \frac{1}{x} aus du kürzt eine Potenz von x aus v, und übrig bleibt eine einfache Potenz. Mit einem Logarithmus als u passiert das immer.
Probe durch Ableiten
Die Rechnung in der anderen Richtung steht auf der Seite zur Ableitung von x ln x.
Bestimmte Integrale
Von 1 bis e:
Das sind etwa 2.097.
Von 0 bis 1: Dieses Integral ist bei 0 uneigentlich, weil \ln x dort nicht definiert ist, aber es gilt x^2\ln x \to 0 für x \to 0^+:
Die allgemeine Potenz xⁿ ln x
Dieselben Schritte mit dv = x^n\,dx und v = \frac{x^{n+1}}{n+1} liefern
| Integral | Ergebnis |
|---|---|
| \int\ln x\,dx (n = 0) | x\ln x - x + C |
| \int x^2\ln x\,dx | \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C |
| \int\sqrt{x}\ln x\,dx | \frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \frac{4}{9}x^{3/2} + C |
| \int\frac{\ln x}{x^2}\,dx (n = -2) | -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: eine dritte Potenz. \int x^3\ln x\,dx = \frac{x^4}{4}\ln x - \frac{x^4}{16} + C, aus der allgemeinen Formel mit n = 3.
Beispiel 2: der Logarithmus einer Potenz. \int x\ln(x^2)\,dx. Verwende \ln(x^2) = 2\ln x für x > 0:
Beispiel 3: der Fall n = −1. Bei \int\frac{\ln x}{x}\,dx versagt die Formel (man müsste durch null teilen). Verwende stattdessen u = \ln x, du = \frac{dx}{x}: \int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C.
Beispiel 4: ein quadrierter Logarithmus. \int x(\ln x)^2\,dx. Partielle Integration mit u = (\ln x)^2, dv = x\,dx ergibt \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \int x\ln x\,dx, und das kennst du jetzt:
Häufige Fehler
- u = x wählen. Dann braucht v das Integral \int\ln x\,dx, und das Restintegral ist schwieriger als das ursprüngliche.
- Vergessen, \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} zu vereinfachen. Das ist \frac{x}{2}, und integriert ergibt das \frac{x^2}{4}, nicht \frac{x^2}{2}.
- Die Faktoren einzeln integrieren. \frac{x^2}{2}(x\ln x - x) ist nicht das Ergebnis.
- Die allgemeine Formel mit n = -1 verwenden. Siehe Beispiel 3.
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