Integral de 1/(x ln x): fórmula, passo a passo e exemplos

A integral de \dfrac{1}{x\ln x} é \ln\lvert\ln x\rvert + C. É um exemplo clássico de substituição escondida à vista de todos: o \frac{1}{x} é a derivada do \ln x ao lado dele.

O integrando está definido para x > 0 com x \ne 1, já que \ln 1 = 0 zeraria o denominador.

Gráfico de 1/(x ln x)

Como integrar 1/(x ln x) passo a passo

1. Identifique o par. Reescreva o integrando como \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}. O segundo fator é a derivada de \ln x.
2. Substitua. Seja u = \ln x, então du = \frac{1}{x}\,dx: \int\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int\frac{1}{u}\,du
3. Integre. \int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C, pela integral de 1/x.
4. Volte à variável original. \ln\lvert\ln x\rvert + C.

O módulo faz diferença em 0 < x < 1, onde \ln x é negativo. Para x > 1 você pode tirá-lo e escrever \ln(\ln x).

Essa é a substituição (mudança de variável) em ação. Sempre que vir \frac{1}{x} multiplicado por alguma função de \ln x, tente u = \ln x.

Verificação por derivação

Use a regra da cadeia duas vezes:

Integrais definidas e impróprias

De e a e²: \ln(\ln e^2) - \ln(\ln e) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2.

De e a e^e: \ln(e) - \ln(1) = 1. Cada passo da forma [e^{a}, e^{ea}] acrescenta a mesma área, 1.

De 2 a ∞: essa integral imprópria diverge.

O crescimento é angustiantemente lento. Mesmo em b = 10^{100}, \ln(\ln b) \approx \ln 230.3 \approx 5.44. Uma calculadora jamais convenceria você de que ela diverge, mas a primitiva prova isso.

O teste da integral. Como essa integral diverge, o teste da integral diz que a série \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n} também diverge, mesmo com termos que diminuem mais rápido que \frac{1}{n}.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: logaritmo ao quadrado. \displaystyle\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2}. Com u = \ln x, a primitiva é -\frac{1}{\ln x}:

Esta converge. Uma potência a mais de \ln x é suficiente.

Exemplo 2: logaritmo no numerador. \displaystyle\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C.

Exemplo 3: uma potência do logaritmo. \displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}} = \int u^{-1/2}\,du = 2\sqrt{\ln x} + C, para x > 1.

Exemplo 4: uma constante dentro. \displaystyle\int\frac{dx}{x\ln(5x)}. Aqui \frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{x} também, então a resposta é \ln\lvert\ln(5x)\rvert + C.

Exemplo 5: mais uma camada. \displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x\,\ln(\ln x)} = \ln\lvert\ln(\ln x)\rvert + C, usando u = \ln(\ln x).

Erros comuns

1. Separar em \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x} e integrar cada fator. Não se integra um produto fator por fator. \ln x\cdot\ln\lvert\ln x\rvert está errado.
2. Usar integração por partes. É possível, mas não leva a nada útil. A substituição resolve em uma linha.
3. Escrever \ln\lvert x\ln x\rvert. Essa é a primitiva de \frac{\ln x + 1}{x\ln x}, e não de \frac{1}{x\ln x}.
4. Integrar passando por x = 1. O integrando explode ali, então \int_{1/2}^{2}\frac{dx}{x\ln x} não é uma integral comum.

A integral de ln x e a integral de x ln x tratam das outras integrais com logaritmo mais comuns. Para mais sobre esse tipo de substituição, veja o guia de substituição e os exercícios de substituição.