Somme d'une série géométrique : formule a/(1 − r) et exemples

Une série géométrique additionne des termes dont chacun s'obtient à partir du précédent en multipliant par un même nombre r, la raison. C'est l'une des rares séries infinies dont on sait écrire la somme exacte, ce qui en fait la référence à laquelle on compare tous les critères de convergence.

La formule de la série géométrique

Avec pour premier terme a et pour raison r :

Si \lvert r\rvert \ge 1 et a \ne 0, la série diverge.

La somme des N premiers termes est finie pour tout r \ne 1 :

Pourquoi la formule fonctionne

Multipliez S_N par r et soustrayez. Presque tous les termes se simplifient :

Lorsque \lvert r\rvert < 1, r^N \to 0 quand N \to \infty, donc S_N \to \frac{a}{1-r}. Lorsque \lvert r\rvert \ge 1, r^N ne tend pas vers zéro et les sommes partielles n'ont pas de limite finie.

Comment l'utiliser

1. Trouver a : le premier terme de la série telle qu'elle est écrite. Remplacez l'indice par sa valeur de départ.
2. Trouver r : divisez un terme quelconque par le précédent.
3. Vérifier \lvert r\rvert < 1. Sinon, on s'arrête : la série diverge.
4. Calculer \frac{a}{1-r}.

Exemples corrigés

Exemple 1 : un classique. 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots a pour premier terme a = 1 et pour raison r = \frac{1}{2} :

Exemple 2 : l'indice ne commence pas à 0. Dans \sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{2}{3}\right)^n, le premier terme est 3\cdot\frac{2}{3} = 2, et non 3 :

Exemple 3 : une raison négative. \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n a pour premier terme a = 1 et pour raison r = -\frac{1}{3} :

Exemple 4 : un développement décimal périodique. 0.272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10000} + \cdots a pour premier terme a = \frac{27}{100} et pour raison r = \frac{1}{100} :

Exemple 5 : divergence. \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{5}{4}\right)^n a pour raison r = \frac{5}{4} > 1, donc elle diverge. Les termes augmentent au lieu de diminuer.

Somme finie ou somme infinie

La formule de la somme finie est valable pour toute raison sauf r = 1 : même une série de raison r = 3 a une somme des dix premiers termes parfaitement définie, \sum_{n=0}^{9} 3^n = \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = 29524. Seule la somme infinie exige \lvert r\rvert < 1. Lorsque r = 1, chaque terme vaut a, donc les N premiers termes ont pour somme Na, et la série infinie diverge.

Erreurs fréquentes

1. Prendre le coefficient au lieu du premier terme. Quand la somme commence à n = 1 ou plus loin, calculez directement le premier terme.
2. Oublier la condition. \frac{a}{1-r} avec r = 2 donne -a, un nombre qui n'a aucun sens. Vérifiez toujours d'abord \lvert r\rvert < 1.
3. Prendre d'autres séries pour des séries géométriques. \sum \frac{1}{n^2} et \sum \frac{1}{2n} n'ont pas de raison constante : la formule ne s'applique pas.
4. Perdre un signe dans r. Pour une série géométrique alternée, r est négative, et 1 - r devient 1 + \lvert r\rvert.

Pour aller plus loin

Les séries géométriques servent de modèle au critère de d'Alembert, qui demande si une série se comporte à terme comme une série géométrique de raison \lvert r\rvert < 1. Elles donnent aussi la première série entière, \frac{1}{1-x} = \sum x^n pour \lvert x\rvert < 1, point de départ des séries entières. Pour d'autres exemples, lisez le guide complet des séries géométriques.