Geometrische Reihe: Summenformel a/(1 − r), Konvergenz, Beispiele

Bei einer geometrischen Reihe entsteht jedes Glied aus dem vorherigen durch Multiplikation mit derselben Zahl r. Sie gehört zu den wenigen unendlichen Reihen, deren exakten Wert man angeben kann, und ist deshalb der Maßstab, an dem jedes Konvergenzkriterium gemessen wird.

Die Formel der geometrischen Reihe

Mit dem Anfangsglied a und dem Quotienten r gilt:

Für \lvert r\rvert \ge 1 und a \ne 0 divergiert die Reihe.

Die Summe der ersten N Glieder ist für jedes r \ne 1 endlich:

Warum die Formel stimmt

Multipliziere S_N mit r und ziehe das Ergebnis ab. Fast alle Glieder heben sich weg:

Für \lvert r\rvert < 1 gilt r^N \to 0 für N \to \infty, also S_N \to \frac{a}{1-r}. Für \lvert r\rvert \ge 1 geht r^N nicht gegen null, und die Partialsummen haben keinen endlichen Grenzwert.

So wendest du sie an

1. Bestimme a: das erste Glied der Reihe, so wie sie dasteht. Setze den Startindex ein.
2. Bestimme r: Teile ein beliebiges Glied durch das vorhergehende.
3. Prüfe \lvert r\rvert < 1. Wenn nicht, bist du fertig: Die Reihe divergiert.
4. Berechne \frac{a}{1-r}.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: ein Klassiker. 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots hat a = 1, r = \frac{1}{2}:

Beispiel 2: Der Index beginnt nicht bei 0. In \sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{2}{3}\right)^n ist das erste Glied 3\cdot\frac{2}{3} = 2, nicht 3:

Beispiel 3: ein negativer Quotient. \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n hat a = 1, r = -\frac{1}{3}:

Beispiel 4: ein periodischer Dezimalbruch. 0.272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10000} + \cdots hat a = \frac{27}{100} und r = \frac{1}{100}:

Beispiel 5: Divergenz. \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{5}{4}\right)^n hat r = \frac{5}{4} > 1, also divergiert die Reihe. Die Glieder wachsen, statt kleiner zu werden.

Endliche und unendliche Summen

Die endliche Formel gilt für jeden Quotienten außer r = 1. Selbst eine Reihe mit r = 3 hat also eine ganz normale Summe der ersten zehn Glieder: \sum_{n=0}^{9} 3^n = \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = 29524. Nur die unendliche Summe braucht \lvert r\rvert < 1. Für r = 1 ist jedes Glied gleich a, die ersten N Glieder ergeben also Na, und die unendliche Reihe divergiert.

Häufige Fehler

1. Den Koeffizienten statt des ersten Glieds verwenden. Beginnt die Summe bei n = 1 oder später, berechne das erste Glied direkt.
2. Die Bedingung ignorieren. \frac{a}{1-r} mit r = 2 ergibt -a, eine sinnlose Zahl. Prüfe immer zuerst \lvert r\rvert < 1.
3. Andere Reihen für geometrisch halten. \sum \frac{1}{n^2} und \sum \frac{1}{2n} haben keinen konstanten Quotienten, die Formel gilt dort also nicht.
4. Ein Vorzeichen in r verlieren. Bei einer alternierenden geometrischen Reihe ist r negativ, und aus 1 - r wird 1 + \lvert r\rvert.

Wie es weitergeht

Geometrische Reihen sind das Vorbild für das Quotientenkriterium, das prüft, ob sich eine Reihe auf lange Sicht wie eine geometrische Reihe mit \lvert r\rvert < 1 verhält. Sie liefern auch die erste Potenzreihe, \frac{1}{1-x} = \sum x^n für \lvert x\rvert < 1, den Ausgangspunkt für Potenzreihen. Weitere Beispiele findest du im ausführlichen Leitfaden zur geometrischen Reihe.