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Ableitungen der Arkusfunktionen

Ableitung von arctan x: Formel, Beweis und Beispiele

Die Ableitung von arctan x ist 1/(1 + x²). Mit Beweis aus tan y = x, Beispielen zur Kettenregel wie arctan(2x) und arctan(x²) und einem Graphen.

Ableitungen der Arkusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}
Ableitung
\dfrac{1}{1 + x^2} für jedes reelle x
Mit Kettenregel
\dfrac{d}{dx}\arctan u = \dfrac{u'}{1 + u^2}
Definitionsbereich von arctan x
alle reellen Zahlen
Wertebereich von arctan x
\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
Als Integral
\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan x + C
Auf dieser Seite
  1. Graph von arctan x und seiner Ableitung
  2. Beweis der Ableitung von arctan x
  3. Mit der Kettenregel: Ableitung von arctan(u)
  4. Rechenbeispiele
  5. Typische Fehler

Die Ableitung von \arctan x ist \dfrac{1}{1 + x^2}. Anders als bei arcsin und arccos gibt es keine Wurzel und keine Einschränkung des Definitionsbereichs: Die Formel gilt für jede reelle Zahl.

\frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

Graph von arctan x und seiner Ableitung

Graph von y = arctan x und seiner Ableitung y = 1/(1 + x²)
Der Arkustangens steigt im Ursprung am schnellsten, mit Steigung 1, und flacht dann zu seinen waagerechten Asymptoten y = \pm\frac{\pi}{2} hin ab.

Die Ableitung ist eine glockenförmige Kurve, die immer positiv ist, also steigt \arctan x immer. Weil die Ableitung an beiden Enden gegen 0 geht, wird der Graph in Richtung \pm\frac{\pi}{2} flach.

Beweis der Ableitung von arctan x

Sei y = \arctan x, also \tan y = x mit -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}. Leite beide Seiten mit implizitem Differenzieren ab und nutze die Ableitung von tan x:

\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}

Mit dem trigonometrischen Pythagoras \sec^2 y = 1 + \tan^2 y wird daraus ein Ausdruck in x:

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}

Diesmal musst du kein Vorzeichen wählen, denn 1 + x^2 ist immer positiv.

Mit der Kettenregel: Ableitung von arctan(u)

Mit der Kettenregel:

\frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1 + u^2}
Funktion Innere Funktion u Ableitung
\arctan(2x) 2x \frac{2}{1 + 4x^2}
\arctan(x^2) x^2 \frac{2x}{1 + x^4}
\arctan(e^x) e^x \frac{e^x}{1 + e^{2x}}
\arctan(\sqrt{x}) \sqrt{x} \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}
\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) \frac{x}{a} \frac{a}{a^2 + x^2}

Aus der letzten Zeile folgt das Standardintegral \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: arctan von 1/x. Für x \ne 0 gilt

\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1}{x^2 + 1}

Das ist das Negative der arctan-Ableitung, also ist \arctan x + \arctan\frac{1}{x} auf jeder Seite von 0 konstant. Die Summe ist \frac{\pi}{2} für x > 0 und -\frac{\pi}{2} für x < 0.

Beispiel 2: Produktregel. Für f(x) = x\arctan x:

f'(x) = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2}

Beispiel 3: Tangente. Bei x = 1 ist \arctan 1 = \frac{\pi}{4} und die Steigung \frac{1}{2}. Die Tangente lautet y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(x - 1).

Typische Fehler

  1. \sec^2 x schreiben. Das ist die Ableitung von \tan x, nicht von \arctan x.
  2. \frac{1}{1 + x} schreiben. Das x ist quadriert. Probe: Bei x = 1 muss die Steigung \frac{1}{2} sein.
  3. Vergessen, die ganze innere Funktion zu quadrieren. \arctan(3x) ergibt 1 + 9x^2, nicht 1 + 3x^2.
  4. Mit \frac{1}{\tan x} = \cot x verwechseln. \tan^{-1} x ist die Umkehrfunktion.

Rückwärts gelesen liefert diese Ableitung das Integral von 1/(1 + x²). Für das Integral von arctan x selbst brauchst du partielle Integration. Siehe auch den Arkustangens und die Aufgaben zu Ableitungen der Arkusfunktionen.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist die Ableitung von arctan x?
Die Ableitung von \arctan x (auch \tan^{-1} x geschrieben) ist \frac{1}{1 + x^2}.

Was ist die Ableitung von arctan(2x)?
Mit der Kettenregel ist sie \frac{2}{1 + (2x)^2} = \frac{2}{1 + 4x^2}.

Was ist die Ableitung von arctan(x²)?
Die innere Ableitung ist 2x, also lautet das Ergebnis \frac{2x}{1 + x^4}.

Was ist das Integral von 1/(1 + x²)?
Es ist \arctan x + C. Das ist die Ableitung von \arctan x rückwärts gelesen.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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