Integral von arctan x: Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von \arctan x ist x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C. Keine Grundregel macht den Arkustangens direkt rückgängig, deshalb geht der übliche Weg über partielle Integration mit einem „versteckten“ Faktor 1.

Graph von arctan x und seiner Stammfunktion

arctan x Schritt für Schritt integrieren

Der Trick: Schreibe \arctan x als \arctan x \cdot 1 und verwende partielle Integration, \int u\,dv = uv - \int v\,du.

1. Die Teile wählen. u = \arctan x und dv = dx. Dann ist du = \frac{1}{1+x^2}\,dx und v = x.
2. Die Formel anwenden. \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx
3. Das verbleibende Integral lösen mit w = 1 + x^2, dw = 2x\,dx: \int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{dw}{w} = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C
4. Zusammensetzen. \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C

Warum u = \arctan x? Seine Ableitung \frac{1}{1+x^2} ist algebraisch und viel leichter zu handhaben. In der LIATE-Reihenfolge stehen Arkusfunktionen weit vorne, sie eignen sich also gut als u.

Probe durch Ableiten

Die beiden Brüche heben sich genau auf, übrig bleibt \arctan x.

Bestimmte Integrale

Von 0 bis 1:

Von −1 bis 1: \arctan x ist eine ungerade Funktion, also gilt \int_{-1}^{1}\arctan x\,dx = 0. Die Fläche über der Achse rechts hebt die Fläche unter der Achse links auf.

Von 0 bis √3: \sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\ln 4 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \ln 2 \approx 1.121.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: ein skaliertes Argument. \int \arctan(2x)\,dx. Setze u = 2x, also dx = \frac{du}{2}:

Probe: Die Ableitung ist \arctan 2x + \frac{2x}{1+4x^2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{8x}{1+4x^2} = \arctan 2x.

Beispiel 2: x mal arctan x. Wähle u = \arctan x und dv = x\,dx, also v = \frac{x^2}{2}:

Schreibe \frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}, was integriert x - \arctan x ergibt. Also

Beispiel 3: arctan der Wurzel. Bei \int\arctan\sqrt{x}\,dx setzt du zuerst x = t^2 und integrierst dann partiell. Das Ergebnis ist (x+1)\arctan\sqrt{x} - \sqrt{x} + C, was du durch Ableiten bestätigen kannst.

Häufige Fehler

1. \frac{1}{1+x^2} angeben. Das ist die Ableitung von \arctan x, nicht das Integral. Siehe Ableitung von arctan x.
2. arctan mit dem Kehrwert von tan verwechseln. \tan^{-1}x ist die Umkehrfunktion. \frac{1}{\tan x} = \cot x ist eine andere Funktion; siehe Integral von cot x.
3. Den Faktor \frac{1}{2} verlieren. Bei \int\frac{x}{1+x^2}\,dx liefert die Substitution \frac{1}{2}\ln(1+x^2), nicht \ln(1+x^2).
4. Die Rollen vertauschen. Mit u = 1 und dv = \arctan x\,dx bräuchtest du genau das Integral, das du suchst. Leite immer die Arkusfunktion ab.

Wie man arctan als Ergebnis erhält, statt es zu integrieren, zeigt das Integral von 1/(1+x²). Denselben Trick mit partieller Integration findest du beim Integral von ln x, und der Leitfaden zur partiellen Integration bietet weitere Übung.