Ableitung der Arkusfunktionen: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zur Ableitung der Arkusfunktionen beginnen mit den Grundformeln, nutzen dann die Kettenregel, die Produktregel und einen Logarithmus und enden mit zwei Aufgaben, die sich überraschend vereinfachen, sowie einer Tangente. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse folgen direkt nach der Liste, danach die ausführlichen Lösungswege.

Die Formeln, die du brauchst:

Jede dieser Formeln folgt aus dem impliziten Differenzieren. Die vollständigen Herleitungen findest du bei der Ableitung von arcsin x, der Ableitung von arctan x und der Ableitung von arcsec x.

Aufgaben

Grundformeln

1. y = 3\arctan x - 2\arcsin x
2. y = \arctan(3x)
3. y = \arccos(2x)

Kettenregel

4. y = \arcsin(x^2)
5. y = \arctan\!\left(\sqrt{x}\right)
6. y = \arctan(e^x)
7. y = \operatorname{arcsec}(3x) für x > \frac{1}{3}

Mit anderen Regeln

8. y = x\arctan x
9. y = \ln(\arctan x) für x > 0
10. y = \arcsin x + \sqrt{1 - x^2}

Vereinfachen und anwenden

11. y = \arctan x + \arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right) für x > 0
12. Bestimme die Tangente an y = \arctan x an der Stelle x = 1.

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Verwende für jeden Summanden die Tabelle:

2. Mit u = 3x gilt u' = 3 und u^2 = 9x^2:

3. Mit u = 2x gilt u' = 2 und u^2 = 4x^2. Behalte das Minuszeichen von arccos:

4. Mit u = x^2 gilt u' = 2x und u^2 = x^4:

5. Mit u = \sqrt{x} gilt u' = \frac{1}{2\sqrt{x}} und u^2 = x:

6. Mit u = e^x gilt u' = e^x und u^2 = e^{2x}:

7. Mit u = 3x > 1 gilt |u| = 3x und u' = 3:

8. Verwende die Produktregel:

9. Verwende (\ln u)' = \frac{u'}{u} mit u = \arctan x:

10. Die Ableitung von \sqrt{1 - x^2} ist \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}. Addiere die beiden Teile:

Wegen 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) vereinfacht sich das für -1 < x < 1 zu \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}.

11. Für den zweiten Summanden ist u = \frac{1}{x} und u' = -\frac{1}{x^2}:

Also ist y' = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 0. Die Funktion ist für x > 0 konstant. An der Stelle x = 1 hat sie den Wert \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}, also gilt \arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} für alle x > 0.

12. Der Punkt ist \arctan 1 = \frac{\pi}{4}. Die Steigung ist \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}:

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Nur x quadrieren statt der ganzen inneren Funktion. In Aufgabe 2 lautet der Nenner 1 + (3x)^2 = 1 + 9x^2, nicht 1 + 3x^2.
• Das u' im Zähler vergessen. \frac{d}{dx}\arcsin(x^2) braucht das 2x im Zähler.
• \arcsin x mit \frac{1}{\sin x} verwechseln. \arcsin x ist die Umkehrfunktion, \frac{1}{\sin x} dagegen ist \csc x. Ihre Ableitungen sind völlig verschieden.
• Das Minuszeichen bei arccos weglassen. Aufgabe 3 hat ein negatives Ergebnis, weil (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} gilt.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit neuen Funktionen und sofortigem Feedback probiere die Lektion zur Ableitung der Arkusfunktionen und die Lektion zur Ableitung von Umkehrfunktionen. Wenn du zuerst die gewöhnlichen trigonometrischen Funktionen wiederholen willst, nutze die Aufgaben zur Ableitung trigonometrischer Funktionen.