Integral von 1/(1+x²): Formel, Rechenweg und Beispiele
Das Integral von 1/(1+x²) ist arctan x + C. Begründung mit einer tan-Substitution, die Variante 1/(a²+x²), ein Graph und Rechenbeispiele.
Integrale mit Arkusfunktionen Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Stammfunktion
- \arctan x + C
- Allgemeine Form
- \displaystyle\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C
- Methode
- Substitution x = \tan\theta oder die Ableitung von arctan wiedererkennen
- Von 0 bis 1
- \dfrac{\pi}{4}
- Über die ganze Zahlengerade
- \pi
Auf dieser Seite
Das Integral von \dfrac{1}{1+x^2} ist \arctan x + C. Es gehört zu den wenigen Integralen, die du auf einen Blick kennen solltest, denn es macht aus einer einfachen gebrochenrationalen Funktion einen Winkel.
Die allgemeinere Version für jede Konstante a > 0 lautet
Graph von 1/(1+x²) und seiner Stammfunktion
Die Kurve \frac{1}{1+x^2} ist überall positiv, also steigt ihre Stammfunktion immer. Außerdem flacht sie schnell ab, und deshalb nähert sich \arctan x den waagerechten Geraden y = \pm\frac{\pi}{2}.
1/(1+x²) Schritt für Schritt integrieren
Du kannst einfach die Ableitung von arctan x wiedererkennen. Wenn du sehen willst, woher das Ergebnis kommt, substituiere x = \tan\theta.
- Setze x = \tan\theta, also dx = \sec^2\theta\,d\theta.
- Verwende die Identität 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta: \int \frac{\sec^2\theta}{1+\tan^2\theta}\,d\theta = \int \frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta}\,d\theta = \int 1\,d\theta = \theta + C
- Zurück zu x: Wegen x = \tan\theta ist \theta = \arctan x.
Für \frac{1}{a^2+x^2} klammerst du a^2 aus und substituierst u = \frac{x}{a}, dx = a\,du:
Das ist dieselbe Idee wie bei der trigonometrischen Substitution, in ihrer einfachsten Form.
Probe durch Ableiten
Mit a = 1 erhältst du wieder \frac{1}{1+x^2}.
Bestimmte Integrale
| Integral | Wert |
|---|---|
| \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} | \frac{\pi}{4} \approx 0.785 |
| \int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+x^2} | \frac{\pi}{2} |
| \int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2} | \frac{\pi}{3} |
| \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} | \pi |
Das letzte ist ein uneigentliches Integral. Es konvergiert, obwohl das Intervall unendlich ist, weil \frac{1}{1+x^2} wie \frac{1}{x^2} abnimmt.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: eine andere Konstante als 1. \displaystyle\int \frac{dx}{9 + x^2}. Hier ist a = 3:
Beispiel 2: ein Koeffizient vor x². \displaystyle\int \frac{dx}{1 + 4x^2}. Setze u = 2x, du = 2\,dx:
Beispiel 3: quadratische Ergänzung. \displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}. Schreibe x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 und verwende dann a = 2 mit u = x + 1:
Beispiel 4: den Zähler aufteilen. \displaystyle\int \frac{x + 3}{x^2 + 1}\,dx. Teile in zwei bekannte Integrale auf:
Den ersten Teil behandelt die Seite Integral von x/(x²+1).
Häufige Fehler
- \ln(1 + x^2) schreiben. Das ist die Stammfunktion von \frac{2x}{1+x^2}, nicht von \frac{1}{1+x^2}. Ohne x im Zähler gibt es kein du für eine Logarithmus-Substitution.
- Den Faktor \frac{1}{a} weglassen. \int \frac{dx}{4+x^2} ist \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}, nicht \arctan\frac{x}{2}. Leite dein Ergebnis ab, um das zu bemerken.
- Mit \frac{1}{1-x^2} verwechseln. Ein Minuszeichen ändert alles. \frac{1}{1-x^2} braucht eine Partialbruchzerlegung und ergibt Logarithmen; siehe Integral von 1/(x²−1).
- In Grad rechnen. \arctan 1 = \frac{\pi}{4}, nicht 45. In der Analysis rechnet man immer im Bogenmaß.
Zur Umkehrfunktion selbst siehe die Seite zum Arkustangens. Wie man \arctan x integriert (statt es als Ergebnis zu bekommen), zeigt das Integral von arctan x.
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