Ableitung von ln(x²) und (ln x)²: Formeln und Beispiele
Die Ableitung von ln(x²) ist 2/x, die Ableitung von (ln x)² ist 2 ln x / x. Mit beiden Beweisen, einem Graphen und Tipps, wie du sie auseinanderhältst.
Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung von ln(x²)
- \dfrac{2}{x} für x \ne 0
- Ableitung von (ln x)²
- \dfrac{2\ln x}{x} für x > 0
- Wichtige Logarithmusregel
- \ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert
- Definitionsbereich von ln(x²)
- x \ne 0
- Definitionsbereich von (ln x)²
- x > 0
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \ln(x^2) ist \dfrac{2}{x}. Verwechsle sie nicht mit (\ln x)^2, dessen Ableitung \dfrac{2\ln x}{x} ist.
Ableitung von ln(x²): zwei Wege
Mit der Kettenregel. Die innere Funktion ist u = x^2, also u' = 2x. Mit "innere Ableitung durch innere Funktion" aus der Ableitung von ln x:
Erst mit einer Logarithmusregel. Das Logarithmusgesetz für Potenzen holt den Exponenten nach vorne: \ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert. Wegen \frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x} gilt
Der Betrag ist wichtig, weil x^2 > 0 auch für x < 0 gilt. \ln(x^2) existiert also auch für negative x, und die Formel \frac{2}{x} gilt auf beiden Seiten von 0.
Ableitung von (ln x)²
Hier wird erst der Logarithmus berechnet und dann quadriert. Die äußere Funktion ist ein Quadrat, also nimmst du die Kettenregel mit der Potenzregel außen:
Du siehst (\ln x)^2 auch als \ln^2 x geschrieben. Im Allgemeinen ist das nie gleich \ln(x^2). Bei x = e: \ln(e^2) = 2, aber (\ln e)^2 = 1.
Graph beider Funktionen
Der Graph zeigt den Unterschied im Vorzeichen. \ln(x^2) steigt für x > 0 (die Steigung \frac{2}{x} ist positiv) und fällt für x < 0. (\ln x)^2 hat ein Minimum bei x = 1, wo die Ableitung \frac{2\ln x}{x} gleich 0 ist.
Direkter Vergleich
| \ln(x^2) | (\ln x)^2 | |
|---|---|---|
| Was wird quadriert | die Eingabe x | die Ausgabe \ln x |
| Definitionsbereich | x \ne 0 | x > 0 |
| Vereinfacht | 2\ln\lvert x\rvert | keine einfachere Form |
| Ableitung | \frac{2}{x} | \frac{2\ln x}{x} |
| Wert bei x = e | 2 | 1 |
Weitere Beispiele
Beispiel 1. \frac{d}{dx}\ln(x^3) = \frac{3x^2}{x^3} = \frac{3}{x}. Allgemein gilt \frac{d}{dx}\ln(x^n) = \frac{n}{x}.
Beispiel 2. \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}. Hier kürzt sich nichts, weil die innere Funktion keine reine Potenz ist.
Beispiel 3. \frac{d}{dx}(\ln x)^3 = \frac{3(\ln x)^2}{x}.
Beispiel 4. \frac{d}{dx}\ln\!\left((x^2 + 1)^2\right) = 2\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{4x}{x^2 + 1}, wobei zuerst das Logarithmusgesetz für Potenzen angewendet wird.
Typische Fehler
- \frac{1}{x^2} schreiben. Du musst mit der inneren Ableitung 2x multiplizieren.
- \ln^2 x wie \ln(x^2) behandeln. Das eine quadriert die Ausgabe, das andere die Eingabe.
- Für (\ln x)^2 das Ergebnis \frac{2}{x} schreiben. Du hast das \ln x weggelassen, das die Potenzregel übrig lässt.
Mehr Übung zur Kettenregel mit Logarithmen findest du bei der Ableitung von ln(2x), beim logarithmischen Differenzieren und in den Aufgaben zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.
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