Ableitung von ln(2x): Warum sie 1/x ist, mit Beispielen
Die Ableitung von ln(2x) ist 1/x, genau wie bei ln x. Mit zwei Beweisen, einem Graphen, der die gleichen Steigungen zeigt, und dem Unterschied zu ln(2x + 1).
Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- \dfrac{1}{x} für x > 0
- Allgemeine Form
- \dfrac{d}{dx}\ln(kx) = \dfrac{1}{x} für jede Konstante k > 0
- Wichtige Logarithmusregel
- \ln(2x) = \ln 2 + \ln x
- Definitionsbereich von ln(2x)
- x > 0
- Vergleich
- \dfrac{d}{dx}\ln(2x + 1) = \dfrac{2}{2x + 1}
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \ln(2x) ist \dfrac{1}{x}. Das überrascht viele: Die 2 verschwindet, und das Ergebnis stimmt mit der Ableitung von ln x überein.
Beweis 1: die Kettenregel
Sei u = 2x, also u' = 2. Die Kettenregel für Logarithmen lautet "innere Ableitung durch innere Funktion":
Die 2 im Zähler kürzt sich mit der 2 im Nenner.
Beweis 2: erst den Logarithmus zerlegen
Nach dem Logarithmusgesetz für Produkte gilt \ln(ab) = \ln a + \ln b. Also ist
Nun ist \ln 2 \approx 0.693 einfach eine Zahl, und die Ableitung einer Konstanten ist 0:
Dieser zweite Beweis erklärt, warum das Ergebnis dasselbe ist wie bei \ln x.
Graph: zwei Kurven, gleiche Steigungen
An jeder Stelle x haben die beiden Kurven denselben senkrechten Abstand, ihre Tangenten sind also parallel. Bei x = 2 zum Beispiel haben beide die Steigung \frac{1}{2}.
Wenn sich die Konstante nicht kürzt
Der Trick funktioniert nur, wenn die innere Funktion eine Konstante mal x ist. Vergleiche:
| Funktion | Ableitung | Kürzt sich die Konstante? |
|---|---|---|
| \ln(2x) | \frac{2}{2x} = \frac{1}{x} | ja |
| \ln(5x) | \frac{5}{5x} = \frac{1}{x} | ja |
| \ln(2x + 1) | \frac{2}{2x + 1} | nein |
| \ln(x + 2) | \frac{1}{x + 2} | nein |
| \ln(2x^3) | \frac{6x^2}{2x^3} = \frac{3}{x} | die 2 kürzt sich, die Potenz bleibt |
Die letzte Zeile funktioniert, weil \ln(2x^3) = \ln 2 + 3\ln x gilt.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: eine Tangente. Bei x = \frac{1}{2} ist \ln(2x) = \ln 1 = 0 und die Steigung \frac{1}{1/2} = 2. Die Tangente lautet
Beispiel 2: Produktregel. Für f(x) = x\ln(2x) liefert die Produktregel
Beispiel 3: ein Quadrat. Bei g(x) = \left[\ln(2x)\right]^2 ist die äußere Funktion ein Quadrat:
Typische Fehler
- \frac{1}{2x} schreiben. Du hast durch die innere Funktion geteilt, aber vergessen, mit ihrer Ableitung 2 zu multiplizieren.
- \frac{2}{x} schreiben. Du hast mit 2 multipliziert, aber die 2 im Nenner nicht stehen lassen.
- Bei \ln(2x + 1) kürzen. Die 2 kürzt sich nur, wenn die innere Funktion genau 2x ist.
Siehe auch die Ableitung von ln(x²), wo statt eines Vielfachen eine Potenz im Logarithmus steht, und übe weiter mit den Aufgaben zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.
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