Ableitung von ln x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von ln x ist 1/x. Mit Beweis aus eʸ = x, der Kettenregel für ln(u), einem Graphen und Rechenbeispielen wie ln(2x) und ln(x²+1).
Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- \dfrac{1}{x} für x > 0
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\ln u = \dfrac{u'}{u}
- Mit Betrag
- \dfrac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \dfrac{1}{x} für x \ne 0
- Definitionsbereich von ln x
- x > 0
- Als Integral
- \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \ln x ist \dfrac{1}{x}. Sie gehört zu den meistgenutzten Ergebnissen der Analysis und schließt eine Lücke, die die Potenzregel offen lässt: Keine Potenz von x hat \frac{1}{x} als Ableitung, der natürliche Logarithmus aber schon.
Graph von ln x und seiner Ableitung
Da \frac{1}{x} für x > 0 immer positiv ist, ist der natürliche Logarithmus streng monoton steigend. Und weil \frac{1}{x} kleiner wird, wenn x wächst, steigt \ln x immer langsamer an. Deshalb ist der Graph rechtsgekrümmt.
Beweis, dass die Ableitung von ln x gleich 1/x ist
Sei y = \ln x. Nach der Definition des natürlichen Logarithmus bedeutet das
Leite beide Seiten nach x ab und nutze auf der linken Seite implizites Differenzieren:
Im letzten Schritt wird wieder e^y = x verwendet. Der Beweis beruht darauf, dass die Ableitung von e^x wieder e^x ist. Mehr dazu findest du auf der Seite zur Ableitung von eˣ.
Mit der Kettenregel: Ableitung von ln(u)
Meist steht im Logarithmus etwas anderes als ein bloßes x. Mit der Kettenregel gilt:
In Worten: innere Ableitung durch innere Funktion.
| Funktion | Innere Funktion u | Ableitung \frac{u'}{u} |
|---|---|---|
| \ln(2x) | 2x | \frac{2}{2x} = \frac{1}{x} |
| \ln(x^2 + 1) | x^2 + 1 | \frac{2x}{x^2 + 1} |
| \ln(\sin x) | \sin x | \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x |
| \ln(e^x + 3) | e^x + 3 | \frac{e^x}{e^x + 3} |
| \ln(\ln x) | \ln x | \frac{1}{x\ln x} |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: ein Produkt. Leite f(x) = x^3 \ln x mit der Produktregel ab:
Beispiel 2: erst vereinfachen. Leite g(x) = \ln\!\left(\dfrac{x^4}{x + 1}\right) ab. Mit den Logarithmusgesetzen wird aus dem Quotienten eine Differenz:
Das geht viel schneller, als die Quotientenregel innerhalb der Kettenregel anzuwenden. Logarithmen vor dem Ableiten zu zerlegen ist die Idee hinter dem logarithmischen Differenzieren.
Beispiel 3: eine Tangente. Die Tangente an y = \ln x bei x = e hat die Steigung \frac{1}{e} und verläuft durch (e, 1):
Diese Gerade geht durch den Ursprung.
Typische Fehler
- \frac{1}{u} schreiben und aufhören. \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) ist nicht \frac{1}{x^2+1}. Multipliziere mit der inneren Ableitung 2x.
- \ln(x^2) und (\ln x)^2 gleichsetzen. \frac{d}{dx}\ln(x^2) = \frac{2}{x}, aber \frac{d}{dx}(\ln x)^2 = \frac{2\ln x}{x}.
- \frac{1}{x} für andere Basen verwenden. \frac{d}{dx}\log_{10} x braucht den zusätzlichen Faktor \frac{1}{\ln 10}. Siehe die Ableitung von log x.
- Den Definitionsbereich vergessen. \ln x existiert nur für x > 0. Für negative Eingaben nimmst du \ln\lvert x\rvert, das dieselbe Ableitung \frac{1}{x} hat.
Mehr zu Logarithmen und Exponentialfunktionen zusammen liest du im Artikel über Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen, oder sieh dir die Seite zum natürlichen Logarithmus an.
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