Ableitung von sinh x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von sinh x ist cosh x. Mit Beweis über die Definition mit Exponentialfunktionen, warum kein Minuszeichen auftaucht, Kettenregel und Graph.
Ableitungen der Hyperbelfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- \cosh x
- Definition
- \sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'
- Zweite Ableitung
- \sinh x
- Ableitung der Umkehrfunktion
- \dfrac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \sinh x ist \cosh x. Der Sinus hyperbolicus verhält sich in vielem wie der gewöhnliche Sinus, aber bei den Vorzeichen seiner Ableitung gibt es keine Überraschungen.
Beweis über die Definition
Sinus und Kosinus hyperbolicus sind über Exponentialfunktionen definiert:
Leite \sinh x summandenweise ab. Die Ableitung von eˣ ist e^x, und die Ableitung von e^(−x) ist -e^{-x}:
Die beiden Minuszeichen heben sich auf, deshalb lautet das Ergebnis +\cosh x.
Graph von sinh x und seiner Ableitung
Weil \cosh x \ge 1 für jedes x gilt, steigt der Graph von \sinh x immer, und seine kleinste Steigung ist 1 im Ursprung. Seine Tangente bei 0 ist y = x.
Hyperbelfunktionen und Kreisfunktionen im Vergleich
| Kreisfunktion | Ableitung | Hyperbelfunktion | Ableitung |
|---|---|---|---|
| \sin x | \cos x | \sinh x | \cosh x |
| \cos x | -\sin x | \cosh x | \sinh x |
| \tan x | \sec^2 x | \tanh x | \operatorname{sech}^2 x |
Der gewöhnliche Sinus durchläuft einen Zyklus der Länge vier: \sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin. Der Sinus hyperbolicus hat einen Zyklus der Länge zwei: \sinh \to \cosh \to \sinh. Deshalb löst y = \sinh x die Gleichung y'' = y, während y = \sin x die Gleichung y'' = -y löst.
Mit der Kettenregel und Beispiele
Beispiel 1. \frac{d}{dx}\sinh(3x) = 3\cosh(3x).
Beispiel 2. \frac{d}{dx}\sinh(x^2) = 2x\cosh(x^2).
Beispiel 3: Produktregel. \frac{d}{dx}\,x\sinh x = \sinh x + x\cosh x.
Beispiel 4: eine Potenz. \frac{d}{dx}\sinh^2 x = 2\sinh x\cosh x = \sinh(2x), mit der Identität \sinh 2x = 2\sinh x\cosh x.
Beispiel 5: ein Logarithmus. \frac{d}{dx}\ln(\sinh x) = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \coth x für x > 0.
Ableitung der Umkehrfunktion arsinh x
Der Areasinus hyperbolicus hat eine Darstellung mit dem Logarithmus, \operatorname{arsinh} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right). Seine Ableitung ist
Du beweist das wie bei der Ableitung von arcsin x: Setze \sinh y = x, leite ab und erhalte \cosh y\,y' = 1, und nutze dann \cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + x^2}. Aus diesem Ergebnis folgt \int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C.
Typische Fehler
- Ein Minuszeichen hinzufügen. \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x, nicht -\cosh x. Nur der gewöhnliche Kosinus bekommt ein Minus.
- \sinh x mit \sin x verwechseln. Sie folgen einem ähnlichen Muster, sind aber verschiedene Funktionen mit verschiedenen Graphen.
- Die Kettenregel vergessen. \frac{d}{dx}\sinh(5x) = 5\cosh(5x).
Die passenden Gegenstücke findest du bei der Ableitung von cosh x und der Ableitung von tanh x. Die Seite zu den Hyperbelfunktionen zeigt ihre Graphen und Identitäten.
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