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Ableitungen der Hyperbelfunktionen

Ableitung von tanh x: Formel, Beweis und Beispiele

Die Ableitung von tanh x ist sech² x, also 1 − tanh² x. Mit Beweis über die Quotientenregel, Beispielen zur Kettenregel, Graph und der Ableitung von artanh.

Ableitungen der Hyperbelfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x
Ableitung
\operatorname{sech}^2 x = \dfrac{1}{\cosh^2 x}
Gleichwertige Form
1 - \tanh^2 x
Definition
\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}
Wertebereich von tanh x
(-1, 1)
Ableitung der Umkehrfunktion
\dfrac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \dfrac{1}{1 - x^2} für \lvert x\rvert < 1
Auf dieser Seite
  1. Beweis mit der Quotientenregel
  2. Graph von tanh x und seiner Ableitung
  3. tan und tanh im Vergleich
  4. Mit der Kettenregel und Beispiele
  5. Wo 1 − tanh² x auftaucht
  6. Ableitung von artanh x
  7. Typische Fehler

Die Ableitung von \tanh x ist \operatorname{sech}^2 x, was du auch als 1 - \tanh^2 x schreiben kannst.

\frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x

Dabei ist \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}, also \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}.

Beweis mit der Quotientenregel

Schreibe \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} und nutze die Quotientenregel. Die Ableitung von sinh x ist \cosh x, die Ableitung von cosh x ist \sinh x:

\frac{d}{dx}\,\frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\cosh x\cdot\cosh x - \sinh x\cdot\sinh x}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x}

Die hyperbolische Identität \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 vereinfacht den Zähler:

\frac{d}{dx}\tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x

Teilst du den Bruch stattdessen auf, erhältst du die andere Form: \frac{\cosh^2 x}{\cosh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x.

Graph von tanh x und seiner Ableitung

Graph von y = tanh x und seiner Ableitung y = sech² x
Der Tangens hyperbolicus ist eine S-förmige Kurve zwischen -1 und 1. Seine Steigung ist im Ursprung 1 und geht auf beiden Seiten gegen 0.

Die Ableitung ist immer positiv, also steigt \tanh x immer. Die Werte \pm 1 erreicht die Funktion aber nie, das sind waagerechte Asymptoten. Vergleiche mit der Ableitung von arctan x, einer weiteren S-Kurve mit Steigung 1 im Ursprung, wobei sich arctan seinen Asymptoten viel langsamer nähert.

tan und tanh im Vergleich

Funktion Ableitung Ausgedrückt durch sich selbst
\tan x \sec^2 x 1 + \tan^2 x
\tanh x \operatorname{sech}^2 x 1 - \tanh^2 x

Der Vorzeichenwechsel kommt von den Identitäten: \sec^2 x = 1 + \tan^2 x, aber \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x.

Mit der Kettenregel und Beispiele

\frac{d}{dx}\tanh u = \operatorname{sech}^2 u\cdot u'

Beispiel 1. \frac{d}{dx}\tanh(2x) = 2\operatorname{sech}^2(2x).

Beispiel 2. \frac{d}{dx}\tanh(x^2) = 2x\operatorname{sech}^2(x^2).

Beispiel 3: ein Logarithmus. \frac{d}{dx}\ln(\cosh x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x. Also gilt \int\tanh x\,dx = \ln(\cosh x) + C.

Beispiel 4: ein Wert. Bei x = 1 ist \tanh 1 \approx 0.7616, die Steigung ist also 1 - 0.7616^2 \approx 0.420.

Wo 1 − tanh² x auftaucht

Im maschinellen Lernen ist \tanh eine verbreitete Aktivierungsfunktion. Beim Training wird ihre Ableitung sehr oft gebraucht, und mit 1 - \tanh^2 x kann ein Programm den bereits berechneten Wert von \tanh x wiederverwenden, statt \cosh x auszuwerten.

Ableitung von artanh x

Für \lvert x\rvert < 1 setze \tanh y = x. Dann gilt (1 - \tanh^2 y)\,y' = 1, also

\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}

Typische Fehler

  1. \sec^2 x schreiben. Das ist die Ableitung des gewöhnlichen Tangens.
  2. 1 + \tanh^2 x schreiben. Die hyperbolische Version hat ein Minuszeichen.
  3. Die innere Ableitung vergessen. \frac{d}{dx}\tanh(3x) = 3\operatorname{sech}^2(3x).

Die Seite zu den Hyperbelfunktionen behandelt auch \operatorname{sech}, \operatorname{csch} und \coth.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist die Ableitung von tanh x?
Die Ableitung von \tanh x ist \operatorname{sech}^2 x, und das ist auch gleich 1 - \tanh^2 x.

Was ist die Ableitung von tanh(2x)?
Mit der Kettenregel ist sie 2\operatorname{sech}^2(2x).

Warum schreibt man die Ableitung von tanh als 1 − tanh² x?
Weil \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x gilt. Das siehst du, wenn du \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 durch \cosh^2 x teilst. In dieser Form kannst du die Steigung allein aus dem Wert von \tanh x berechnen.

Was ist die Ableitung von artanh x?
Für \lvert x\rvert < 1 gilt \frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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