Ableitung von cosh x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von cosh x ist sinh x, ohne Minuszeichen. Mit Beweis über Exponentialfunktionen, der Kettenlinie, Beispielen zur Kettenregel und einem Graphen.
Ableitungen der Hyperbelfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- \sinh x
- Definition
- \cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'
- Wichtige Identität
- \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1
- Ableitung der Umkehrfunktion
- \dfrac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} für x > 1
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Die Ableitung von \cosh x ist \sinh x. Achte auf das Vorzeichen: Anders als beim gewöhnlichen Kosinus gibt es kein Minus.
Beweis über die Definition
Der Kosinus hyperbolicus ist der Mittelwert von e^x und e^{-x}:
Leite jeden Teil einzeln ab. Die Ableitung von eˣ ist e^x, und die Ableitung von e^(−x) ist -e^{-x}:
Graph von cosh x und seiner Ableitung
Die Ableitung \sinh x ist für x < 0 negativ und für x > 0 positiv, also liegt bei x = 0 ein Minimum. Die zweite Ableitung ist \cosh x \ge 1 > 0, also ist die Kurve überall linksgekrümmt.
Die Kettenlinie
Eine Kette oder ein Seil, das unter seinem eigenen Gewicht durchhängt, nimmt die Form y = a\cosh\frac{x}{a} an, die sogenannte Kettenlinie. Ihre Steigung an jeder Stelle ist
Das Seil ist also an seinem tiefsten Punkt waagerecht und wird zu den Aufhängepunkten hin steiler. Auch die Formel für die Bogenlänge vereinfacht sich schön, denn 1 + \sinh^2 u = \cosh^2 u:
Mit der Kettenregel und Beispiele
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| \cosh(2x) | 2\sinh(2x) |
| \cosh(x^2) | 2x\sinh(x^2) |
| \cosh(\ln x) | \frac{\sinh(\ln x)}{x} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right) |
| \cosh^2 x | 2\cosh x\sinh x = \sinh 2x |
| x\cosh x | \cosh x + x\sinh x |
In der dritten Zeile gilt \sinh(\ln x) = \frac{x - 1/x}{2}, und Teilen durch x ergibt \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right).
Rechenbeispiel: die Identität prüfen. Leite \cosh^2 x - \sinh^2 x ab:
Eine Ableitung von null bedeutet, dass der Ausdruck konstant ist. Bei x = 0 ist er 1 - 0 = 1, und das beweist \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.
Ableitung von arcosh x
Für x > 1 hat der Areakosinus hyperbolicus die Ableitung
Setze \cosh y = x mit y > 0. Dann gilt \sinh y\,y' = 1 und \sinh y = \sqrt{\cosh^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1}.
Typische Fehler
- -\sinh x schreiben. Das Muster der Kreisfunktionen zu übernehmen ist der häufigste Fehler.
- Glauben, \cosh x könne kleiner als 1 sein. Sein Minimum ist \cosh 0 = 1.
- Die innere Ableitung vergessen. \frac{d}{dx}\cosh(4x) = 4\sinh(4x).
Siehe auch die Ableitung von sinh x, die Ableitung von tanh x und die Seite zu den Hyperbelfunktionen mit Graphen und Identitäten.
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