Ableitung von xeˣ: Formel, Schritte und Beispiele

Die Ableitung von xe^x ist e^x(x + 1). Es ist ein Produkt aus x und e^x, also ist die Produktregel das richtige Werkzeug.

Schritt für Schritt mit der Produktregel

Mit f = x und g = e^x liefert die Produktregel (fg)' = f'g + fg':

1. f' = 1.
2. g' = e^x, denn die Ableitung von eˣ ist die Funktion selbst.
3. Zusammensetzen: 1\cdot e^x + x\cdot e^x = e^x + xe^x.
4. e^x ausklammern: e^x(x + 1).

Die ausgeklammerte Form ist nützlicher. Weil e^x nie null ist, ist die Ableitung nur dort null, wo x + 1 = 0 gilt.

Graph von xeˣ und seiner Ableitung

Minimum und Wendepunkt

Minimum. Die Ableitung e^x(x + 1) ist für x < -1 negativ und für x > -1 positiv. Also liegt bei x = -1 ein Minimum mit dem Wert

Wendepunkt. Die zweite Ableitung ist

Sie wechselt bei x = -2 das Vorzeichen, der Graph geht dort also von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt über. Der Punkt ist \left(-2, -\frac{2}{e^2}\right) \approx (-2, -0.271).

Das Muster der n-ten Ableitung

Jedes Mal, wenn du e^x(x + k) ableitest, erhältst du e^x(x + k) + e^x = e^x(x + k + 1). Also gilt:

Rechenbeispiele

Beispiel 1: die abklingende Version. Für f(x) = xe^{-x} brauchst du die Kettenregel bei e^{-x} (siehe e^(−x)):

Jetzt ist der kritische Punkt ein Maximum bei x = 1.

Beispiel 2: eine höhere Potenz. Für g(x) = x^2e^x gilt

Die kritischen Punkte liegen bei x = 0 und x = -2.

Beispiel 3: ein gestreckter Exponent. Für h(x) = xe^{3x} gilt

Beispiel 4: eine Tangente. Bei x = 0 ist xe^x = 0 und die Steigung e^0(0 + 1) = 1. Die Tangente lautet y = x.

Typische Fehler

1. Die beiden Ableitungen multiplizieren. 1\cdot e^x = e^x ist nicht die Produktregel, dabei fehlt der Summand xe^x.
2. xe^x als Ergebnis schreiben. Die Ableitung von e^x ist zwar e^x, aber das Produkt mit x braucht trotzdem die Produktregel.
3. Nicht ausklammern. e^x + xe^x stehen zu lassen ist richtig, aber ausgeklammert findest du die kritischen Punkte viel leichter.

Rückwärts gilt mit partieller Integration \int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C, siehe das Integral von xeˣ. Probe: \frac{d}{dx}e^x(x - 1) = e^x(x - 1) + e^x = xe^x. Üben kannst du mit den Aufgaben zur Produkt- und Quotientenregel.