Produktregel und Quotientenregel: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zur Produktregel und Quotientenregel beginnen mit Produkten aus zwei Faktoren, gehen dann zu Quotienten über und enden mit einem Produkt aus drei Faktoren, einem Produkt in einem Quotienten und einer Aufgabe mit Wertetabelle. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungen.

Die beiden Regeln:

Zum Auffrischen sieh dir die Seiten zur Produktregel und zur Quotientenregel oder den Leitfaden zu Produkt- und Quotientenregel an.

Aufgaben

Produktregel

1. y = x^2 e^x
2. y = (x^2 + 1)(3x - 2)
3. y = \sqrt{x}\,\ln x
4. y = e^x\cos x

Quotientenregel

5. y = \dfrac{x}{x + 1}
6. y = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 3}
7. y = \dfrac{\sin x}{x}
8. y = \dfrac{\ln x}{x}
9. y = \dfrac{e^x}{x^2}

Beides zusammen

10. y = x\,e^x\sin x
11. y = \dfrac{x^2 e^x}{x + 1}
12. Gegeben sind f(2) = 3, f'(2) = -1, g(2) = 4 und g'(2) = 5. Bestimme (fg)'(2) und \left(\dfrac{f}{g}\right)'(2).

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. Sei f = x^2 und g = e^x, also f' = 2x und g' = e^x:

2. Sei f = x^2 + 1 und g = 3x - 2:

Zur Kontrolle kannst du zuerst ausmultiplizieren: y = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2 liefert dieselbe Ableitung.

3. Sei f = \sqrt{x} und g = \ln x, also f' = \frac{1}{2\sqrt{x}} und g' = \frac{1}{x}:

Dabei ist \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{2}{2\sqrt{x}}.

4. Die Ableitung von \cos x ist -\sin x:

5. Zähler x, Nenner x + 1, und beide Ableitungen sind 1:

6. Ableitung des Zählers 2, Ableitung des Nenners 2x:

7. Ableitung des Zählers \cos x, Ableitung des Nenners 1:

8. Ableitung des Zählers \frac{1}{x}, Ableitung des Nenners 1:

9. Ableitung des Zählers e^x, Ableitung des Nenners 2x:

10. Drei Faktoren, also drei Terme. Leite nacheinander x, dann e^x, dann \sin x ab:

11. Der Zähler ist ein Produkt. Nach Aufgabe 1 ist seine Ableitung (x^2 + 2x)e^x. Jetzt die Quotientenregel:

Klammere im Zähler e^x aus und multipliziere aus: (x^2 + 2x)(x + 1) - x^2 = x^3 + 2x^2 + 2x = x(x^2 + 2x + 2). Also

12. Setze die Werte in jede Regel ein:

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Die Ableitungen multiplizieren. (x^2e^x)' \ne 2x\cdot e^x. Die Produktregel liefert immer zwei Terme.
• In der falschen Reihenfolge subtrahieren. Schreibst du in Aufgabe 6 (2x - 1)(2x) - 2(x^2 + 3) in den Zähler, stimmt der Betrag, aber das Vorzeichen ist falsch.
• Vergessen, den Nenner zu quadrieren. Der Nenner der Quotientenregel ist g^2, nicht g.
• Ausmultiplizieren, wenn Ausklammern leichter ist. Klammere in Aufgabe 9 im Zähler xe^x aus, dann kannst du ein x kürzen.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Funktionen und sofortigem Feedback probiere die Lektion zur Produktregel und die Lektion zur Quotientenregel. Enthalten die Faktoren selbst eine innere Funktion, wie bei x^2\sin(3x), geht es weiter mit den Aufgaben zur Kettenregel.