Integral von x eˣ: Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von xe^x ist (x - 1)e^x + C. Es ist das klassische erste Beispiel für partielle Integration: eine Potenz von x mal eine Exponentialfunktion.

Graph von x eˣ und seiner Stammfunktion

x eˣ Schritt für Schritt integrieren

Die Formel der partiellen Integration lautet \int u\,dv = uv - \int v\,du.

1. Die Teile wählen. Setze u = x und dv = e^x\,dx.
2. du und v bestimmen. du = dx und v = e^x.
3. Die Formel anwenden. \int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx
4. Das leichte Integral lösen. \int e^x\,dx = e^x, also \int xe^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C

Warum u = x? Ziel ist ein einfacheres Restintegral. Abgeleitet wird x zu 1, nach einem Schritt ist das x also weg. Die LIATE-Regel (Logarithmus, Inverse trigonometrische Funktion, Algebraisch, Trigonometrisch, Exponentiell) sagt dasselbe: Algebraisch kommt vor exponentiell, also ist x das u.

Und andersherum? Mit u = e^x und dv = x\,dx erhältst du \frac{x^2}{2}e^x - \int\frac{x^2}{2}e^x\,dx. Die Potenz von x ist gestiegen, das Problem also schlimmer geworden.

Probe durch Ableiten

Die Produktregel liefert genau den Integranden zurück. Die Seite zur Ableitung von x eˣ zeigt die andere Richtung.

Bestimmte Integrale

Von 0 bis 1:

Von −∞ bis 0: Für x \to -\infty gilt (x-1)e^x \to 0, weil die Exponentialfunktion gewinnt. Also

Das Ergebnis ist negativ, weil xe^x < 0 für x < 0 gilt.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: eine schnellere Exponentialfunktion. \int xe^{2x}\,dx. Setze u = x, dv = e^{2x}\,dx, also v = \frac{1}{2}e^{2x}:

Allgemein gilt \int xe^{kx}\,dx = \left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C.

Beispiel 2: Zerfall. Mit k = -1 liefert die allgemeine Formel \int xe^{-x}\,dx = (-x - 1)e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C. Von 0 bis \infty ist das 0 - (-1) = 1. Das ist die mittlere Wartezeit bei der Exponentialverteilung mit Rate 1.

Beispiel 3: ein linearer Faktor. \int(3x + 2)e^x\,dx. Mit u = 3x + 2, du = 3\,dx:

Beispiel 4: eine höhere Potenz. Bei x^2e^x integrierst du zweimal partiell. Das Ergebnis ist (x^2 - 2x + 2)e^x + C, siehe die Seite Integral von x² eˣ.

Häufige Fehler

1. Faktorweise integrieren. \int xe^x\,dx \ne \frac{x^2}{2}e^x. Das Integral eines Produkts ist nicht das Produkt der Integrale.
2. u = e^x wählen. Das Restintegral enthält dann x^2 und wird schwieriger.
3. Ein Vorzeichenfehler im letzten Schritt. Es heißt xe^x - \int e^x\,dx, der Term e^x wird also subtrahiert. Mach die Probe durch Ableiten.
4. Das \frac{1}{k} bei e^{kx} vergessen. Bei e^{2x} ist v = \frac{1}{2}e^{2x}, nicht e^{2x}.

Mehr Übung bieten der Leitfaden zur partiellen Integration und die Übungsaufgaben zur partiellen Integration.