AP Calc BC Einheit 9: Parameterkurven, Polarform und Vektoren

AP Calculus Einheit 9, Parametergleichungen, Polarkoordinaten und vektorwertige Funktionen (Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions), ist die erste der beiden Einheiten, die es nur in BC gibt. Sie holt Ableitungen und Integrale von der x-Achse in die Ebene: ein Teilchen, das sich auf einer Bahn bewegt, eine Kurve, die durch Winkel und Abstand vom Ursprung gegeben ist, ein Ort, der als Vektor geschrieben wird. Die Analysis bleibt dieselbe. Was sich ändert, ist der Ansatz.

Was Einheit 9 umfasst

Das College Board teilt die Einheit in diese Themen. Jede Zeile verlinkt eine Lektion, in der du das Thema jedes Mal mit neuen Zahlen üben kannst.

Die wichtigsten Ideen

Eine Parameterkurve ist eine Bahn, die mit der Zeit durchlaufen wird. x und y hängen beide von einem Parameter t ab. Die Steigung ist ein Verhältnis von Änderungsraten:

Vektoren bündeln die Bewegung. Ist der Ort \vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle, dann ist die Geschwindigkeit \vec{v}(t) = \langle x'(t), y'(t)\rangle und die Beschleunigung \vec{a}(t) = \langle x''(t), y''(t)\rangle. Der Betrag der Geschwindigkeit ist die Länge des Geschwindigkeitsvektors, und die Gesamtstrecke ist sein Integral.

Polarkurven verwenden Winkel und Abstand. Ein Punkt ist (r, \theta) mit x = r\cos\theta und y = r\sin\theta. Für Steigungen leitest du x und y nach \theta ab und teilst. Für Flächen addierst du schmale Sektoren:

Beispielaufgaben

1. Steigung und Krümmung einer Parameterkurve. Für x = t^2 und y = t^3 - 3t gilt:

Bei t = 2 ist die Steigung \frac{9}{4}. Die Kurve hat bei t = \pm 1 waagerechte Tangenten. Für die Krümmung ist \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{3}{2}\left(1 + \frac{1}{t^2}\right), bei t = 2 also:

2. Bogenlänge einer Parameterkurve. Für x = 2\cos t und y = 2\sin t auf [0, \pi] ist (x')^2 + (y')^2 = 4\sin^2 t + 4\cos^2 t = 4, die Länge ist also \int_0^\pi 2\,dt = 2\pi, der halbe Umfang eines Kreises mit Radius 2.

3. Bewegung in der Ebene. Ein Teilchen hat den Ort \vec{r}(t) = \langle t^2, 3t\rangle. Dann ist \vec{v}(t) = \langle 2t, 3\rangle und \vec{a}(t) = \langle 2, 0\rangle. Bei t = 2 ist der Betrag der Geschwindigkeit \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.

4. Fläche in Polarkoordinaten. Die Fläche innerhalb der Kardioide r = 1 + \cos\theta ist

mit \int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0 und \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi.

So lernst du für Einheit 9

• Zweimal durch \frac{dx}{dt} teilen. Es steht in der ersten Ableitung und noch einmal in der zweiten. Es in \frac{d^2y}{dx^2} wegzulassen, ist der häufigste Fehler in Einheit 9.
• Vektoren Komponente für Komponente behandeln. Ableiten, integrieren und Anfangsorte addieren machst du für x und y getrennt.
• Zuerst die Schnittpunkte der Polarkurven bestimmen. Für die Fläche zwischen zwei Polarkurven setzt du die r-Werte gleich, um die Grenzen für \theta zu erhalten, und verwendest dann \frac{1}{2}\int \left(r_{\text{außen}}^2 - r_{\text{innen}}^2\right)d\theta.
• Den Taschenrechner nutzen, wo er erlaubt ist. Viele Integrale zu Polarflächen und Bogenlängen haben keine einfache Stammfunktion und kommen deshalb im Teil mit Taschenrechner vor.
• Aufgabensammlungen durcharbeiten. Probiere die Aufgaben zu Parameterkurven und Polarkoordinaten, jeweils mit vollständigen Lösungen.

Den Überblick über den ganzen Kurs findest du im Leitfaden zu AP Calculus BC, und einen Vergleich der beiden Kurse im Leitfaden zu AP Calculus AB.

AP und Advanced Placement sind eingetragene Marken des College Board, das nicht mit PracticeCalculus verbunden ist und diesen Leitfaden nicht unterstützt. Die Namen und Gewichtungen der Einheiten stammen aus dem Kursrahmen (Course Framework) des College Board; prüfe dort, ob sich etwas geändert hat.