AP Calc BC Einheit 10: Unendliche Folgen und Reihen
Wiederholung zu AP Calculus BC Einheit 10: Konvergenzkriterien, Fehlerabschätzungen, Taylor- und Maclaurin-Reihen, Konvergenzradius und -intervall, mit Übungen.
AP Calculus Einheiten Aktualisiert 4 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Gewichtung AB
- Nicht Teil der AB-Prüfung
- Gewichtung BC
- 15–20%
- Kernideen
- Konvergenzkriterien, Taylorpolynome, Fehlerabschätzungen, Potenzreihen
- Nur in BC
- Die ganze Einheit
- Kommt nach
- Einheit 9, Parameterkurven, Polarkoordinaten und vektorwertige Funktionen
- Hier üben
- Analysis 2: Folgen und Reihen
Auf dieser Seite
AP Calculus Einheit 10, Unendliche Folgen und Reihen (Infinite Sequences and Series), ist die zweite Einheit, die es nur in BC gibt, und die größte. Sie stellt eine überraschende Frage: Kann man unendlich viele Zahlen addieren und ein endliches Ergebnis erhalten? Manchmal ja. Mit dieser Idee schreibt man dann Funktionen wie e^x und \sin x als unendliche Polynome, und genau so berechnen Taschenrechner sie tatsächlich.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Gewichtung in der Prüfung | nicht Teil der AB-Prüfung | 15–20% (nur BC) |
| Zusätzliche Themen | keine | die ganze Einheit gibt es nur in BC |
Was Einheit 10 umfasst
Das College Board teilt die Einheit in diese Themen. Jede Zeile verlinkt eine Lektion, in der du das Thema jedes Mal mit neuen Zahlen üben kannst.
| Thema | Was du lernst | Üben |
|---|---|---|
| Konvergente und divergente Reihen | Partialsummen und was Konvergenz bedeutet | Reihen und Partialsummen |
| Geometrische Reihen | \sum ar^n = \frac{a}{1 - r} für \lvert r\rvert < 1 | Geometrische Reihe |
| Nullfolgenkriterium | Gilt a_n \not\to 0, divergiert die Reihe | Nullfolgenkriterium |
| Integralkriterium, harmonische Reihe und p-Reihen | \sum \frac{1}{n^p} konvergiert nur für p > 1 | Integralkriterium und p-Reihen |
| Vergleichskriterien | Direkter Vergleich und Grenzwertvergleich | Vergleichskriterien |
| Leibniz-Kriterium | Fallende Glieder, die gegen 0 gehen | Alternierende Reihen |
| Quotientenkriterium | Mit \lim \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert arbeiten | Quotienten- und Wurzelkriterium |
| Absolute und bedingte Konvergenz | Ob auch \sum \lvert a_n\rvert konvergiert | Das passende Kriterium wählen |
| Fehlerabschätzung bei alternierenden Reihen | Der Fehler ist höchstens der erste weggelassene Term | Alternierende Reihen |
| Taylorpolynome | Eine Funktion in der Nähe eines Punktes annähern | Taylorpolynome |
| Restgliedabschätzung nach Lagrange | Den Fehler einer Taylornäherung abschätzen | Nähern mit Taylorpolynomen |
| Konvergenzradius und Konvergenzintervall | Quotientenkriterium plus Prüfung der Randpunkte | Potenzreihen und Konvergenzradius |
| Taylor- und Maclaurin-Reihen | Reihen für e^x, \sin x, \cos x und \frac{1}{1 - x} aufstellen | Maclaurin-Reihen |
| Funktionen als Potenzreihen darstellen | Reihen substituieren, ableiten und integrieren | Maclaurin-Reihen |
Die wichtigsten Ideen
Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen zur Ruhe kommen. Nähert sich S_N = a_1 + a_2 + \dots + a_N einem endlichen Grenzwert, konvergiert die Reihe gegen diesen Grenzwert. Dass die Glieder gegen 0 gehen, ist notwendig, aber nicht hinreichend: Die Glieder der harmonischen Reihe \sum \frac{1}{n} gehen gegen 0, trotzdem divergiert sie.
Jedes Kriterium passt zu einer Form. Das Nullfolgenkriterium beweist nur Divergenz. Die Formel für die geometrische Reihe liefert eine exakte Summe. Das Quotientenkriterium eignet sich für Fakultäten und Exponentialterme. Das Leibniz-Kriterium braucht Glieder, die monoton gegen 0 fallen.
Taylorpolynome passen sich einer Funktion in der Nähe eines Punktes an. Das Taylorpolynom vom Grad n stimmt bei x = a mit f und seinen ersten n Ableitungen überein. Mehr Terme liefern eine bessere Näherung auf einem größeren Intervall.
Potenzreihen konvergieren auf einem Intervall. Bestimme mit dem Quotientenkriterium den Radius R und prüfe dann jeden Randpunkt einzeln, denn dort liefert das Quotientenkriterium keine Aussage. Mehr dazu in den Leitfäden zu Konvergenzkriterien, Potenzreihen und Taylorreihen sowie auf der Seite zum Satz von Taylor.
Beispielaufgaben
1. Geometrische Reihe. \sum_{n=0}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^n hat a = 3 und r = \frac{1}{2}, konvergiert also gegen \frac{3}{1 - 1/2} = 6.
2. Quotientenkriterium. Für \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} gilt:
also konvergiert die Reihe.
3. Fehler bei einer alternierenden Reihe. Die alternierende harmonische Reihe 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots konvergiert gegen \ln 2. Die ersten vier Terme ergeben \frac{7}{12} \approx 0.583, und der Fehler ist höchstens der nächste Term, \frac{1}{5}. Der tatsächliche Fehler beträgt etwa 0.110.
4. Konvergenzintervall. Für \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} liefert das Quotientenkriterium |x| < 1. Bei x = 1 ist es die harmonische Reihe, die divergiert. Bei x = -1 ist es die alternierende harmonische Reihe, die konvergiert. Das Intervall ist [-1, 1).
5. Restgliedabschätzung nach Lagrange. Das Maclaurin-Polynom vom Grad 2 von e^x liefert e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105. Jede Ableitung von e^x ist e^x, und das ist auf [0, 0.1] kleiner als 3, also
Der wahre Wert ist e^{0.1} \approx 1.105171, der Fehler beträgt also etwa 0.00017.
So lernst du für Einheit 10
- Ein Ablaufschema für die Kriterien anlegen. Lege fest, in welcher Reihenfolge du Nullfolgenkriterium, geometrische Reihe, p-Reihe, Leibniz-, Quotienten- und Vergleichskriterium prüfst, und übe dann, schnell zu wählen.
- Immer die Randpunkte prüfen. Die Freitextaufgabe zum Konvergenzintervall gibt für jeden Randpunkt einen Punkt, und sie verhalten sich oft verschieden.
- Vier Maclaurin-Reihen auswendig lernen. e^x, \sin x, \cos x und \frac{1}{1 - x} decken den größten Teil der Prüfung ab, sobald du in sie einsetzen kannst.
- Die Fehlerabschätzung vollständig aufschreiben. Zeige M, die Fakultät und die Potenz, nicht nur eine Zahl.
- Aufgabensammlungen durcharbeiten. Probiere die Aufgaben zu Konvergenzkriterien, die Aufgaben zu Potenzreihen und die Aufgaben zu Taylorreihen, jeweils mit vollständigen Lösungen.
Den Überblick über den ganzen Kurs findest du im Leitfaden zu AP Calculus BC, und einen Vergleich der beiden Kurse im Leitfaden zu AP Calculus AB.
AP und Advanced Placement sind eingetragene Marken des College Board, das nicht mit PracticeCalculus verbunden ist und diesen Leitfaden nicht unterstützt. Die Namen und Gewichtungen der Einheiten stammen aus dem Kursrahmen (Course Framework) des College Board; prüfe dort, ob sich etwas geändert hat.
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