Quadratische Funktion: Graph, Scheitelpunkt, Ableitung, Integral
Die quadratische Funktion f(x) = ax² + bx + c: Parabel, Scheitelpunktformel, Nullstellen, Ableitung 2ax + b, Integral und Rechenbeispiele.
Algebraische Funktionen Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Definitionsbereich
- (-\infty, \infty)
- Wertebereich
- \left[f\left(-\frac{b}{2a}\right), \infty\right) für a > 0
- Ableitung
- 2ax + b
- Integral
- \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C
- Scheitelpunkt
- x = -\frac{b}{2a}
- Nullstellen
- x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
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Eine quadratische Funktion ist ein Polynom vom Grad zwei. Ihr Graph ist eine Parabel, eine symmetrische, U-förmige Kurve mit einem einzigen Extrempunkt, dem Scheitelpunkt. Quadratische Funktionen beschreiben Wurfhöhen, Flächen und Gewinne, und sie sind die ersten Kurven, bei denen Ableitungen etwas zeigen, das man an einer Geraden nicht sehen kann.
Formel und Darstellungsformen
| Form | Gleichung | Zeigt |
|---|---|---|
| Normalform | ax^2 + bx + c | y-Achsenabschnitt c |
| Scheitelpunktform | a(x - h)^2 + k | Scheitelpunkt (h, k) |
| Faktorisierte Form | a(x - r_1)(x - r_2) | Nullstellen r_1, r_2 |
Graph einer quadratischen Funktion
Wichtige Merkmale:
- Öffnung. Nach oben geöffnet für a > 0 (Scheitelpunkt ist ein Minimum), nach unten für a < 0 (Scheitelpunkt ist ein Maximum).
- Symmetrieachse. Die senkrechte Gerade x = -\frac{b}{2a}.
- Nullstellen. Aus der Mitternachtsformel x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. Die Diskriminante b^2 - 4ac verrät, ob es zwei, eine oder keine reellen Nullstellen gibt.
- Wertebereich. \left[k, \infty\right) für a > 0 und \left(-\infty, k\right] für a < 0, wobei k die Höhe des Scheitelpunkts ist.
Ableitung einer quadratischen Funktion
Mit der Potenzregel und der Summenregel:
Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist eine lineare Funktion. Sie ist an genau einer Stelle null, bei x = -\frac{b}{2a}, und das ist der Scheitelpunkt. Die zweite Ableitung ist die Konstante 2a, also ist die Parabel für a > 0 überall linksgekrümmt und für a < 0 überall rechtsgekrümmt. Deshalb ist der Scheitelpunkt immer das globale Extremum.
Integral einer quadratischen Funktion
Das kleine c ist das absolute Glied der quadratischen Funktion; das große C ist die Integrationskonstante.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: Scheitelpunkt mit der Ableitung. Für f(x) = x^2 - 2x - 3 liefert f'(x) = 2x - 2 = 0 die Stelle x = 1, und f(1) = -4. Der Scheitelpunkt ist (1, -4), ein Minimum, weil a = 1 > 0.
Beispiel 2: maximale Höhe. Die Höhe eines Balls ist h(t) = -5t^2 + 20t + 1 Meter. Dann ist h'(t) = -10t + 20 = 0 bei t = 2, und die maximale Höhe ist h(2) = -20 + 40 + 1 = 21 Meter.
Beispiel 3: Fläche unter einer Parabel. Berechne \int_0^3 (x^2 + 1)\,dx:
Beispiel 4: Tangente. Für f(x) = x^2 - 2x - 3 an der Stelle x = 3: f(3) = 0 und f'(3) = 4, also lautet die Tangente y = 4(x - 3) = 4x - 12.
Häufige Fehler
- Das Minuszeichen in -\frac{b}{2a} vergessen. Bei x^2 - 2x - 3 ist b = -2, also liegt der Scheitelpunkt bei x = -\frac{-2}{2} = 1.
- ax^2 zu ax ableiten. Der Exponent kommt nach vorne: \frac{d}{dx}3x^2 = 6x.
- x^2 zu \frac{x^3}{2} integrieren. Teile durch den neuen Exponenten, 3.
- (x - 2)^2 zu x^2 + 4 ausmultiplizieren. Richtig ist x^2 - 4x + 4.
Zusammenhänge
Quadratische Funktionen sind die einfachsten ganzrationalen Funktionen mit Krümmung und daher die klassischen ersten Beispiele für Extremwertaufgaben, Kurvendiskussion und Fläche zwischen Kurven. Das Taylorpolynom zweiten Grades jeder glatten Funktion ist eine quadratische Funktion. Deshalb nähern Parabeln so viele Kurven in der Nähe eines Punktes an.
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