Integral von cot x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von \cot x ist \ln\lvert\sin x\rvert + C. Es ergibt sich aus einer einzigen Substitution und ist das Spiegelbild des Integrals von tan x.

Graph von cot x und seiner Stammfunktion

Herleitung Schritt für Schritt

1. Schreibe um: \displaystyle\int\cot x\,dx = \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx.
2. Setze u = \sin x. Dann ist du = \cos x\,dx.
3. Substituiere: \displaystyle\int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C.
4. Setze u = \sin x wieder ein: \ln\lvert\sin x\rvert + C.

Schritt 3 ist das Integral von 1/x. Wegen \ln\lvert\sin x\rvert = -\ln\lvert\csc x\rvert schreiben manche Bücher das Ergebnis als -\ln\lvert\csc x\rvert + C. Es ist dieselbe Funktion.

Probe durch Ableiten

In der anderen Richtung sieht es anders aus: Die Ableitung von cot x ist -\csc^2 x.

tan und cot im Vergleich

Das Minuszeichen taucht bei \tan x auf, bei \cot x aber nicht, weil \cos x abgeleitet -\sin x ergibt, während \sin x abgeleitet +\cos x ergibt.

Bestimmte Integrale

Beginnt man bei x = 0, erhält man ein divergentes uneigentliches Integral, da \ln\sin x \to -\infty für x \to 0^+.

Varianten mit Substitution

Beispiel 1. \int\cot(4x)\,dx = \frac{1}{4}\ln\lvert\sin 4x\rvert + C.

Beispiel 2. \int x\cot(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sin(x^2)\rvert + C, mit u = x^2.

Beispiel 3: cot zum Quadrat. Verwende \cot^2 x = \csc^2 x - 1:

Probe: \frac{d}{dx}(-\cot x - x) = \csc^2 x - 1 = \cot^2 x.

Beispiel 4: ein versteckter cot. \int\frac{\cos x}{3\sin x + 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3\sin x + 2\rvert + C, mit u = 3\sin x + 2.

Häufige Fehler

1. -\csc^2 x angeben. Das ist die Ableitung von \cot x.
2. In Analogie zu \tan x ein Minuszeichen ergänzen. -\ln\lvert\sin x\rvert hat die Ableitung -\cot x.
3. \ln\lvert\cos x\rvert angeben. Der Logarithmus gehört zum Nenner von \frac{\cos x}{\sin x}, also zu \sin x.
4. Den Betrag weglassen. Auf (\pi, 2\pi) ist \sin x < 0.

Übe mit den Aufgaben zur Substitution.